Poissonsche Zählmaße im $\mathbb{R}^d$

• Zur Erinnerung: Sei $d\ge 2$ eine beliebige natürliche Zahl. Die $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ der Borel-Mengen im $d$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb{R}^d$ ist die kleinste Familie $\mathcal{G}$ von Teilmengen des $\mathbb{R}^d$, die
  • alle Quader der Form $B=(a_1,b_1]\times\ldots\times(a_d,b_d]$ für beliebige $a_i,b_i\in\mathbb{R}$ mit $a_i\le b_i$ für $i=1,\ldots,d$ enthält und
  • die abgeschlossen ist bezüglich der Bildung des Komplementes sowie der Vereinigung von abzählbar vielen Mengen aus $\mathcal{G}$, d.h., für beliebige $A,A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{G}$ gilt $\mathbb{R}^d\setminus A\in\mathcal{G}$ und $\bigcup_{n\ge 1}A_i\in\mathcal{G}$.
• Das $d$-dimensionale Lebesgue-Maß $\nu_d:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty]$ wird eindeutig bestimmt durch seine Werte
  $$\nu_d(B)=\prod_{i=1}^d(b_i-a_i)$$
  für alle Borel-Mengen der Form $B=(a_1,b_1]\times\ldots\times(a_d,b_d]$ mit $a_i,b_i\in\mathbb{R}$ und $a_i\le b_i$ für jedes $i=1,\ldots,d$.

Theorem 4.7    

• Sei $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ ein zufälliges Zählmaß, d.h., für paarweise disjunkte $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ gelte

  $$N_{\bigcup_{n=1}^\infty B_n}=\sum_{n=1}^\infty N_{B_n}\,,$$ (1)

  
  
  und sei $\mathcal{M}^d$ die Familie der halboffenen $d$-dimensionalen Quader in $\mathbb{R}^d$, d.h.,

  $$\mathcal{M}^d=\bigl\{B\subset\mathbb{R}^d:\, B=(a_1,b_1]\times\ld... ...(a_d,b_d],\,a_i,b_i\in\mathbb{R},\, a_i\le b_i\,\forall\,i=1,\ldots,d\bigr\}\,.$$ (2)

  
  

• Dann ist die Verteilung des zufälligen Zählmaßes $\{N_B\}$ eindeutig bestimmt durch die Familie der ,,endlich-dimensionalen'' Wahrscheinlichkeiten $\{P_{B_1,\ldots,B_n}(k_1,\ldots,k_n):\,n\ge 1,\,k_1,\ldots,k_n\ge 0,\,B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{M}^d\}$, wobei
  $$P_{B_1,\ldots,B_n}(k_1,\ldots,k_n)=P(N_{B_1}=k_1,\ldots,N_{B_n}=k_n)\,.$$

Der Beweis von Theorem 4.7 kann mit Hilfe des Satzes über monotone Klassen geführt werden (vgl. Theorem WR-3.2), wobei man ähnlich wie im Beweis von Theorem 4.1 vorgehen kann.