Messbare Indizierung der Atome

In diesem Abschnitt betrachten wir den Begriff der messbaren Indizierung der (zufälligen) Atome von Poisson-Prozessen, der einen konstruktiven Zugang zu Poisson-Prozessen im $\mathbb{R}^d$ und somit die mathematische Grundlage von Simulationsalgorithmen bildet, vgl. auch die Abschnitte 4.2.3 und 4.2.4.

Beachte

$\;$ Man sagt, dass die Folge $\{\widetilde S_i\}$ von Zufallsvektoren $\widetilde S_1,\widetilde S_2,\ldots :\Omega\to\mathbb{R}^d\cup\{\infty\}$ mit

$$\widetilde S_i=\left\{\begin{array}{ll} S_i\,, & \mbox{falls $N\ge i$,}\\ \infty\,, &\mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (9)

eine messbare Indizierung der (zufälligen) Atome des in (6) gegebenen zufälligen Zählmaßes $\{N_B\}$ ist.

Von nun an werden wir stets voraussetzen, dass das Intensitätsmaß $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty]$ diffus ist, d.h., es gelte

$$\mu(\{x\})=0\qquad\forall\,x\in\mathbb{R}^d\,.$$ (10)

Der folgende Hilfssatz wird manchmal Disjunktheitstheorem genannt. Wir nutzen dieses Ergebnis, um zu zeigen, dass man auch für Poissonsche Zählmaße mit einem beliebigen (diffusen und lokal endlichen) Intensitätsmaß eine messbare Indizierung der Atome konstruieren kann.

Lemma 4.1    

• Seien $\{N^{(1)}_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d) \}$ und $\{N^{(2)}_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d) \}$ zwei unabhängige Poisson-Prozesse mit den Intensitätsmaßen $\mu_1$ bzw. $\mu_2$, so dass $0<\mu_1(\mathbb{R}^d),\,\mu_2(\mathbb{R}^d)<\infty$.
• Außerdem seien $\{\widetilde S_i^{(1)}\}$ und $\{\widetilde S_i^{(2)}\}$ unabhängige messbare Indizierungen der Atome von $\{N_B^{(1)}\}$ bzw. $\{N_B^{(2)}\}$, die gemäß $(\ref{def.mes.ind})$ gegeben sind.
• Dann gilt für beliebige $i,j\ge 1$

  $$P\bigl(\{\widetilde S_i^{(1)}\not= \widetilde S_j^{(2)}\}\cup\{\widetilde S_i^{(1)}= \widetilde S_j^{(2)}=\infty\}\bigr)=1\,.$$ (11)

  
  

Beweis

 

• Es genügt zu zeigen, dass für beliebige $i,j\ge 1$ mit $i\not= j$
  $$P\bigl(\{\widetilde S_i^{(1)}= \widetilde S_j^{(2)}\}\cap\{ \widetilde S_j^{(2)}\not=\infty\}\bigr)=0\,.$$

• Mit der Schreibweise $p^{(i)}(B)=\mu_i(B)/\mu_i(\mathbb{R}^d)$ für $i=1,2$ und $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ ergibt sich aus der Unabhängigkeit der Zufallsvektoren $\widetilde S_i^{(1)}$ und $\widetilde S_j^{(2)}$, dass
  

  $${P\bigl(\{\widetilde S_i^{(1)}= \widetilde S_j^{(2)}\}\cap\{ \wid... ...ot=\infty\}\bigr) = P\bigl(\{ S_i^{(1)}= S_j^{(2)}\}\cap\{N^{(2)}\ge j\}\bigr)}$$

  $$= P(N^{(2)}\ge j) P( S_i^{(1)}= S_j^{(2)})= P(N^{(2)}\ge j)\, \int_... ...d} P\bigl( S_i^{(1)}= S_j^{(2)}\mid S_j^{(2)}=s\bigr)\,P( S_j^{(2)}\in{\rm d}s)$$

  $$= P(N^{(2)}\ge j)\,\int_{\mathbb{R}^d} P( S_i^{(1)}= s)\,p^{(2)}({\... ...= P(N^{(2)}\ge j)\,\int_{\mathbb{R}^d} p^{(1)}(\{s\}) \,p^{(2)}({\rm d}s) =0\,,$$

  
  
  wobei in der letzten Gleichheit die Tatsache genutzt wurde, dass das Intensitätsmaß $\mu_1$ diffus ist und dass somit $p^{(1)}(\{s\})=0$ für jedes $s\in\mathbb{R}^d$.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Aus Lemma 4.1 ergibt sich insbesondere, dass durch $\{\widetilde S_i\}$ mit

$$\widetilde S_i=\left\{\begin{array}{ll} S_i^{(1)}\,, & \mbox{fall... ... i>N^{(1)}_{\mathbb{R}^d}$,}\\ [3\jot] \infty &\mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (12)

eine messbare Indizierung der Atome des zufälligen Maßes $\{N_B\}$ mit $N_B= N_B^{(1)}+N_B^{(2)}$ gegeben ist.

Wir übertragen nun den in (12) gegebenen Ansatz auf den Fall von beliebigen (endlichen bzw. abzählbar unendlichen) Summen unabhängiger Poisson-Prozesse.

Theorem 4.11   Sei $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty]$ ein beliebiges diffuses und lokal endliches Maß. Dann gibt es eine Folge $S_1,S_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^d\cup\{\infty\}$ von Zufallsvektoren, so dass das zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ mit

$$N_B=\char93 \{i:\,S_i\in B\}\qquad\forall\,B\in\mathbb{R}^d$$ (13)

ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$ ist.

Beweis

 

• Man kann sich leicht überlegen, dass sich $\mu$ als (abzählbar unendliche) Summe von endlichen Maßen $\mu_1,\mu_2,\ldots:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty)$ darstellen lässt, so dass

  $$\mu(B)=\sum_{j=1}^\infty \mu_j(B)\qquad\forall\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\,.$$ (14)

  
  

• Dabei können wir o.B.d.A. annehmen, dass $\mu_j(\mathbb{R}^d)>0$ für jedes $j\ge 1$.
• Gemäß Korollar 4.2 gibt es dann für jedes $j\ge 1$ unabhängige Zufallsvariablen $N^{(j)},S_1^{(j)},S_2^{(j)},\ldots$ mit
  $$N^{(j)}\sim{\rm Poi}(\mu_j(\mathbb{R}^d))\,,\qquad S^{(j)}_i\sim\;\frac{\mu_j(\cdot)}{\mu_j(\mathbb{R}^d)} \quad\forall\,i\ge 1\,,$$
  • so dass durch den Ansatz
    $$N^{(j)}_B=\char93 \{i:\,1\le i\le N^{(j)}, S^{(j)}_i\in B\}\qquad\forall\, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$$
    ein Poisson-Prozess $\{N_B^{(j)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ mit dem Intensitätsmaß $\mu_j$ gegeben ist.
  • Dabei können die Folgen $\{N^{(1)},S_1^{(1)},S_2^{(1)},\ldots\},\,\{N^{(2)},S_1^{(2)},S_2^{(2)},\ldots\},\,\ldots$ so gewählt werden, dass sie ihrerseits unabhängig sind.
  • Damit sind auch die Poisson-Prozesse $\{N_B^{(1)}\},\,\{N_B^{(2)}\},\,\ldots$ unabhängig.
• Aus Theorem 4.9 ergibt sich nun, dass das zufällige Zählmaß $\{N_B\}$ mit $N_B=\sum_{i=1}^\infty N_B^{(i)}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$ ist.
• Darüber hinaus ergibt sich aus Lemma 4.1, dass durch die Folge $\{S_i\}$ von Zufallsvektoren mit
  $$S_i=\left\{\begin{array}{ll} S_i^{(1)}\,, & \mbox{falls $N^{(1)}\... ...ldots+N^{(j-1)}$\ für ein $j> 2$,}\\ \infty &\mbox{sonst} \end{array}\right.$$
  eine messbare Indizierung der Atome von $\{N_B\}$ gegeben ist, so dass (13) gilt.
  
  $\Box$