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Messbare Indizierung der Atome

In diesem Abschnitt betrachten wir den Begriff der messbaren Indizierung der (zufälligen) Atome von Poisson-Prozessen, der einen konstruktiven Zugang zu Poisson-Prozessen im $ \mathbb{R}^d$ und somit die mathematische Grundlage von Simulationsalgorithmen bildet, vgl. auch die Abschnitte 4.2.3 und 4.2.4.

Beachte
$ \;$ Man sagt, dass die Folge $ \{\widetilde S_i\}$ von Zufallsvektoren $ \widetilde S_1,\widetilde S_2,\ldots
:\Omega\to\mathbb{R}^d\cup\{\infty\}$ mit

$\displaystyle \widetilde S_i=\left\{\begin{array}{ll} S_i\,, & \mbox{falls $N\ge i$,}\\  \infty\,, &\mbox{sonst} \end{array}\right.$ (9)

eine messbare Indizierung der (zufälligen) Atome des in (6) gegebenen zufälligen Zählmaßes $ \{N_B\}$ ist.


Von nun an werden wir stets voraussetzen, dass das Intensitätsmaß $ \mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty]$ diffus ist, d.h., es gelte

$\displaystyle \mu(\{x\})=0\qquad\forall\,x\in\mathbb{R}^d\,.$ (10)

Der folgende Hilfssatz wird manchmal Disjunktheitstheorem genannt. Wir nutzen dieses Ergebnis, um zu zeigen, dass man auch für Poissonsche Zählmaße mit einem beliebigen (diffusen und lokal endlichen) Intensitätsmaß eine messbare Indizierung der Atome konstruieren kann.

Lemma 4.1    

Beweis
 


Beachte
$ \;$ Aus Lemma 4.1 ergibt sich insbesondere, dass durch $ \{\widetilde S_i\}$ mit

$\displaystyle \widetilde S_i=\left\{\begin{array}{ll} S_i^{(1)}\,, & \mbox{fall...
... i>N^{(1)}_{\mathbb{R}^d}$,}\\  [3\jot] \infty &\mbox{sonst} \end{array}\right.$ (12)

eine messbare Indizierung der Atome des zufälligen Maßes $ \{N_B\}$ mit $ N_B= N_B^{(1)}+N_B^{(2)}$ gegeben ist.


Wir übertragen nun den in (12) gegebenen Ansatz auf den Fall von beliebigen (endlichen bzw. abzählbar unendlichen) Summen unabhängiger Poisson-Prozesse.

Theorem 4.11   Sei $ \mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty]$ ein beliebiges diffuses und lokal endliches Maß. Dann gibt es eine Folge $ S_1,S_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^d\cup\{\infty\}$ von Zufallsvektoren, so dass das zufällige Zählmaß $ \{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ mit

$\displaystyle N_B=\char93 \{i:\,S_i\in B\}\qquad\forall\,B\in\mathbb{R}^d$ (13)

ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $ \mu$ ist.


Beweis
 


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Ursa Pantle 2005-07-13