Stationarität und Unabhängigkeit; stationäre bzw. unabhängige Zuwächse

Von großer Bedeutung sind stochastische Prozesse, für die die in (1.2.1) eingeführten endlich-dimensionalen Verteilungen gewisse Invarianzeigenschaften besitzen. Zwei wichtige Klassen solcher stochastischen Prozesse sind wie folgt definiert.

Definition

$\;$ Seien $n=1,2,\ldots$, $0\le t_0< t_1<\ldots<t_n$ und $h\ge 0$ beliebige Zahlen.

• Der stochastische Prozess $\{X_t, t\ge 0\}$ heißt stationär, wenn die Verteilungen der Zufallsvektoren $(X_{t_1+h},\ldots,X_{t_n+h})$ nicht von $h$ abhängen.
• Man sagt, dass der stochastische Prozess $\{X_t, t\ge 0\}$ ein Prozess mit stationären Zuwächsen ist, wenn die Verteilungen der Zufallsvektoren $(X_{t_1+h}-X_{t_0+h},\ldots,X_{t_n+h}-X_{t_{n-1}+h})$ nicht von $h$ abhängen.

Eine andere wichtige Klasse von stochastischen Prozessen, die wir in dieser Vorlesung ausführlich behandeln werden, ist wie folgt definiert.

Definition

$\;$ Man sagt, dass der stochastische Prozess $\{X_t, t\ge 0\}$ ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, wenn die Zufallsvariablen $X_{t_0}$, $X_{t_1}-X_{t_0},\ldots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ für alle $n=1,2,\ldots$ und $0\le t_0< t_1<\ldots<t_n$ unabhängig sind.

Gelegentlich werden wir auch den Begriff der Unabhängigkeit von zwei (oder mehreren) stochastischen Prozessen bzw. den Begriff der Unabhängigkeit eines Prozesses von einer $\sigma$-Algebra benötigen.

Definition

$\;$ Seien $\{X_t, t\ge 0\}$ und $\{Y_t, t\ge 0\}$ zwei beliebige stochastische Prozesse über einunddemselben Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ und sei $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ eine beliebige Teil-$\sigma$-Algebra von $\mathcal{F}$.

• Man sagt dann, dass $\{X_t\}$ und $\{Y_t\}$ unabhängig sind, wenn die Zufallsvektoren $(X_{t_1},\ldots,X_{t_n})$ und $(Y_{s_1},\ldots,Y_{s_m})$ für beliebige (endliche) Folgen von nichtnegativen Zahlen $t_1,\ldots,t_n$ bzw. $s_1,\ldots,s_m$ unabhängig sind.
• Außerdem sagt man, dass $\{X_t\}$ von $\mathcal{G}$ unabhängig ist, wenn für jede Folge $t_1,\ldots,t_n$ von nichtnegativen Zahlen und für beliebige $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und $A\in\mathcal{G}$ die Ereignisse $X^{-1}_{t_1}(B_1)\cap\ldots\cap X^{-1}_{t_n}(B_n)$ und $A$ unabhängig sind, wobei $X_t^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega:\,X_t(\omega)\in B\}$.