Simultane Konfidenzbereiche für Kontraste

In Verallgemeinerung des in (62) hergeleiteten Konfidenzintervalls für einen einzelnen Kontrast lassen sich (auf ähnliche Weise wie in Abschnitt 2.1.6) mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichung (46) simultane Konfidenzbereiche zum Niveau $\gamma\in(0,1)$ gleichzeitig für meherere Kontraste angeben.

Beispiele

 

1. Zunächst betrachten wir die Differenzen $\theta_i-\theta_{i+1}$ der Erwartungswerte benachbarter Teilstichproben, d.h., wir bestimmen einen simultanen Konfidenzbereich für die Kontraste $\theta_1-\theta_2,\ldots,\theta_{k-1}-\theta_k$ zum Niveau $\gamma\in(0,1)$.
   • Sei $A_i=\bigl\{L_i<\theta_i-\theta_{i+1}<U_i \bigr\}$ für jedes $i=1,\ldots,k-1$, wobei
     $$L_i=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{i+1,\cdot}-\,{\rm t}_{n-k... ...}\sqrt{S^2_p\,\displaystyle \Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_{i+1}}\Bigr)}$$
     und
     $$U_i=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{i+1,\cdot}+\,{\rm t}_{n-k... ...qrt{S^2_p\,\displaystyle \Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_{i+1}}\Bigr)}\;.$$

   • Dann ergibt sich aus der Bonferroni-Ungleichung (46) und aus (62), daß
     $$\mathbb{P}\Bigl(\bigcap\limits_{i=1}^{k-1} A_i\Bigr)\ge\sum\limi... ...\mathbb{P}(A_i)-(k-2)=(k-1)\Bigl(1-\frac{1-\gamma}{k-1}\Bigr)-(k-2)=\gamma\,.$$

2. Auf ähnliche Weise ergibt sich ein simultaner Konfidenzbereich für die Differenzen $\theta_i-\theta_j$ der Erwartungswerte sämtlicher Paare von Teilstichproben, d.h., wir bestimmen nun einen simultanen Konfidenzbereich für die Kontraste $\{\theta_i-\theta_j,\, i,j=1,\ldots,k,\, i<j\}$ zum Niveau $\gamma\in(0,1)$.
   • Und zwar sei $A_{ij}=\bigl\{L_{ij}<\theta_i-\theta_j<U_{ij} \bigr\}$ für beliebige $i,j=1,\ldots,k-1$ mit $i<j$, wobei
     $$L_{ij}=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{j\,\cdot}-\,{\rm t}_{n... ...-1))}\sqrt{S^2_p\,\displaystyle \Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_j}\Bigr)}$$
     und
     $$U_{ij}=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{j\,\cdot}+\,{\rm t}_{n... ...}\sqrt{S^2_p\,\displaystyle \Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_j}\Bigr)} \;.$$

   • Dann ergibt sich aus der Bonferroni-Ungleichung (46) und aus (62), daß
     $$\mathbb{P}\Bigl(\bigcap\limits_{i<j} A_{ij}\Bigr)\ge\sum\limits_{... ...1-\frac{2(1-\gamma)}{k(k-1)}\Bigr) -\Bigl(\frac{k(k-1)}{2}-1\Bigr)=\gamma\,.$$

Auf ähnliche Weise, wie in Theorem 2.9 ein Konfidenzband für die Regressionsgerade $y=\alpha+\beta x$ hergeleitet wurde, läßt sich ein simultaner Konfidenzbereich zum Niveau $\gamma$ für sämtliche Kontraste $\bigl\{\sum_{i=1}^k a_i\theta_i,\, {\mathbf{a}}\in\mathcal{A}\bigr\}$ konstruieren.

Theorem 2.14   $\;$ Mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ gilt

$$L_{\mathbf{a}}\le \sum\limits_{i=1}^k a_i\theta_i\le U_{\mathbf{a}}$$ (75)

gleichzeitig für jedes ${\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathcal{A}$, wobei

$$L_{\mathbf{a}}=\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\,\cdot}- \s... ...m F}_{k-1,n-k,\gamma}}\; \sqrt{S^2_p\,\sum\limits_{i=1}^k \frac{a_i^2}{n_i}}$$

und

$$U_{\mathbf{a}}=\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\,\cdot}+ \s... ...}_{k-1,n-k,\gamma}}\; \sqrt{S^2_p\,\sum\limits_{i=1}^k \frac{a_i^2}{n_i}}\;.$$

Beweis

 

• Die Behauptung ist äquivalent mit
  $$\mathbb{P}\Biggl(\Bigl\vert\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i... ...\frac{a_i^2}{n_i}}\;,\;\forall\, {\mathbf{a}}\in\mathcal{A}\Biggr)=\gamma\,.$$
  bzw. mit
  $$\mathbb{P}\Biggl(\sup\limits_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}} T^2_{\mathbf{a}}\le (k-1)\,{\rm F}_{k-1,n-k,\gamma} \Biggr)=\gamma\,,$$
  wobei $T_{\mathbf{a}}$ in (65) gegeben ist.
• Die Gültigkeit der letzten Gleichheit wurde bereits in Theorem 2.12 bewiesen.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Man kann zeigen, daß (75) mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ sogar gleichzeitig für jeden beliebigen Vektor ${\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}^k$ gilt, falls die Definitionsgleichungen für die Schranken $L_{\mathbf{a}}$ und $U_{\mathbf{a}}$ geringfügig geändert werden, vgl. Übungsaufgabe 6.2.