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Simultane Konfidenzbereiche für Kontraste

In Verallgemeinerung des in (62) hergeleiteten Konfidenzintervalls für einen einzelnen Kontrast lassen sich (auf ähnliche Weise wie in Abschnitt 2.1.6) mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichung (46) simultane Konfidenzbereiche zum Niveau $ \gamma\in(0,1)$ gleichzeitig für meherere Kontraste angeben.

Beispiele
 
  1. Zunächst betrachten wir die Differenzen $ \theta_i-\theta_{i+1}$ der Erwartungswerte benachbarter Teilstichproben, d.h., wir bestimmen einen simultanen Konfidenzbereich für die Kontraste $ \theta_1-\theta_2,\ldots,\theta_{k-1}-\theta_k$ zum Niveau $ \gamma\in(0,1)$.
    • Sei $ A_i=\bigl\{L_i<\theta_i-\theta_{i+1}<U_i \bigr\}$ für jedes $ i=1,\ldots,k-1$, wobei

      $\displaystyle L_i=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{i+1,\cdot}-\,{\rm t}_{n-k...
...}\sqrt{S^2_p\,\displaystyle
\Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_{i+1}}\Bigr)}
$

      und

      $\displaystyle U_i=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{i+1,\cdot}+\,{\rm t}_{n-k...
...qrt{S^2_p\,\displaystyle
\Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_{i+1}}\Bigr)}\;.
$

    • Dann ergibt sich aus der Bonferroni-Ungleichung (46) und aus (62), daß

      $\displaystyle \mathbb{P}\Bigl(\bigcap\limits_{i=1}^{k-1}
A_i\Bigr)\ge\sum\limi...
...\mathbb{P}(A_i)-(k-2)=(k-1)\Bigl(1-\frac{1-\gamma}{k-1}\Bigr)-(k-2)=\gamma\,.
$

  2. Auf ähnliche Weise ergibt sich ein simultaner Konfidenzbereich für die Differenzen $ \theta_i-\theta_j$ der Erwartungswerte sämtlicher Paare von Teilstichproben, d.h., wir bestimmen nun einen simultanen Konfidenzbereich für die Kontraste $ \{\theta_i-\theta_j,\, i,j=1,\ldots,k,\, i<j\}$ zum Niveau $ \gamma\in(0,1)$.
    • Und zwar sei $ A_{ij}=\bigl\{L_{ij}<\theta_i-\theta_j<U_{ij}
\bigr\}$ für beliebige $ i,j=1,\ldots,k-1$ mit $ i<j$, wobei

      $\displaystyle L_{ij}=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{j\,\cdot}-\,{\rm t}_{n...
...-1))}\sqrt{S^2_p\,\displaystyle
\Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_j}\Bigr)}
$

      und

      $\displaystyle U_{ij}=\overline Y_{i\,\cdot}-\overline Y_{j\,\cdot}+\,{\rm t}_{n...
...}\sqrt{S^2_p\,\displaystyle
\Bigl(\frac{1}{n_i}\,+\,\frac{1}{n_j}\Bigr)} \;.
$

    • Dann ergibt sich aus der Bonferroni-Ungleichung (46) und aus (62), daß

      $\displaystyle \mathbb{P}\Bigl(\bigcap\limits_{i<j} A_{ij}\Bigr)\ge\sum\limits_{...
...1-\frac{2(1-\gamma)}{k(k-1)}\Bigr)
-\Bigl(\frac{k(k-1)}{2}-1\Bigr)=\gamma\,.
$


Auf ähnliche Weise, wie in Theorem 2.9 ein Konfidenzband für die Regressionsgerade $ y=\alpha+\beta x$ hergeleitet wurde, läßt sich ein simultaner Konfidenzbereich zum Niveau $ \gamma$ für sämtliche Kontraste $ \bigl\{\sum_{i=1}^k
a_i\theta_i,\, {\mathbf{a}}\in\mathcal{A}\bigr\}$ konstruieren.

Theorem 2.14   $ \;$ Mit Wahrscheinlichkeit $ \gamma$ gilt

$\displaystyle L_{\mathbf{a}}\le \sum\limits_{i=1}^k a_i\theta_i\le U_{\mathbf{a}}$ (75)

gleichzeitig für jedes $ {\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathcal{A}$, wobei

$\displaystyle L_{\mathbf{a}}=\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\,\cdot}-
\s...
...m F}_{k-1,n-k,\gamma}}\;
\sqrt{S^2_p\,\sum\limits_{i=1}^k \frac{a_i^2}{n_i}}
$

und

$\displaystyle U_{\mathbf{a}}=\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\,\cdot}+
\s...
...}_{k-1,n-k,\gamma}}\;
\sqrt{S^2_p\,\sum\limits_{i=1}^k \frac{a_i^2}{n_i}}\;.
$


Beweis
 

Beachte
$ \;$ Man kann zeigen, daß (75) mit Wahrscheinlichkeit $ \gamma$ sogar gleichzeitig für jeden beliebigen Vektor $ {\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}^k$ gilt, falls die Definitionsgleichungen für die Schranken $ L_{\mathbf{a}}$ und $ U_{\mathbf{a}}$ geringfügig geändert werden, vgl. Übungsaufgabe 6.2.


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Ursa Pantle 2003-03-10