Dreifaktorielle Varianzanalyse

• Auf ähnliche Weise wie in den Abschnitten 4.4.1 - 4.4.3 lassen sich auch F-Tests für varianzanalytische Modelle mit mehr als zwei Einflußfaktoren konstruieren.
• Wir diskutieren hier kurz das Modell der dreifaktoriellen Varianzanalyse mit balancierten Teilstichproben, d.h.,
  • die Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top$ wird in $k_1k_2k_3$ Teilstichproben $\{Y_{i_1i_2i_3j},\, j=1,\ldots,r\}$ zerlegt, wobei $r=n/(k_1k_2k_3)$ und
    $${\mathbb{E}\,}Y_{i_1i_2i_3j}=\theta_{i_1i_2i_3}=\mu+\alpha^{(1)}_... ...i_1i_2}+\alpha^{(13)}_{i_1i_3}+\alpha^{(23)}_{i_2i_3}+ \alpha_{i_1i_2i_3}\,,$$

  • der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ hat somit die Form
    $${\boldsymbol{\beta}}=\bigl(\mu,\alpha^{(1)}_{i_1}, \alpha^{(2)}_... ...n\{1,\ldots,k_1\},i_2\in\{1,\ldots,k_2\},i_3\in\{1,\ldots,k_3\}\bigr)^\top\,,$$

  • die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ hat die Dimension $n\times m$, wobei $n=rk_1k_2k_3$ und $m=1+k_1+k_2+k_3+k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3+k_1k_2k_3$,
  • die Eintragungen von ${\mathbf{X}}$ bestehen nur aus Nullen und Einsen, und es gilt ${\,{\rm rg}}({\mathbf{X}})=k_1k_2k_3<m$.
• Die Interpretation der Komponenten von ${\boldsymbol {\beta }}$ ist ähnlich wie bisher:
  • $\mu$ ist das allgemeine Mittel der Erwartungswerte $\theta_{i_1i_2i_3}$,
  • $\alpha^{(\ell)}_{i_\ell}$ ist der Haupteffekt der $i_\ell$-ten Stufe des $\ell$-ten Einflußfaktors,
  • $\alpha^{(\ell\ell^\prime)}_{i_\ell i_{\ell^\prime}}$ ist die paarweise Wechselwirkung zwischen den Stufen $i_\ell$ und $i_{\ell^\prime}$ der Stufenkombination $(i_\ell,\,i_{\ell^\prime})$ der Einflußfaktoren $\ell$ und $\ell^\prime$, und
  • $\alpha_{i_1i_2i_3}$ ist die dreifaktorielle Wechselwirkung zwischen den Stufen $i_1$, $i_2$ und $i_3$ der Stufenkombination $(i_1,i_2,i_3)$.
• Ähnlich wie den Abschnitten 4.4.1 - 4.4.3 lassen sich nun beispielsweise die folgenden Hypothesen verifizieren bzw. die zugehörigen Testgrößen konstruieren.

Signifikanz der Einflußfaktoren

 

• Um die Frage zu untersuchen, ob die Stufen des ersten Einflußfaktors signifikant sind, prüfen wir die Hypothese, ob die Effekte
  $$\alpha_{i_1}^{(1)*}=\alpha_{i_1}^{(1)}+\frac{1}{k_2k_3}\sum\limit... ...Bigl(\alpha^{(12)}_{i_1i_2}+\alpha^{(13)}_{i_1i_3}+ \alpha_{i_1i_2i_3}\Bigr)$$
  des ersten Einflußfaktors, gemittelt über sämtliche Stufen der beiden anderen Einflußfaktoren, gleich sind.
• Mit anderen Worten: Wir testen wir die Hypothese
  $$H_0: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}=0\quad\forall\, i_1\in\{1,\ldots,k_1\}$$   versus$$\qquad H_1: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}\not=0$$   $$\mbox{für ein $i_1\in\{1,\ldots,k_1\}$}$$$$\,.$$

• Die Nullhypothese hat die Form $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$, wobei
  • ${\mathbf{H}}$ eine $(k_1-1)\times m$ Matrix mit vollem Zeilenrang ${\,{\rm rg}}({\mathbf{H}})=k_1-1$ ist und
  • sämtliche Komponenten des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind.
• Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ wird die in Theorem 4.14 betrachtete Testgröße $T_{\mathbf{H}}$ verwendet, wobei
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/(k_1-1)}{SSE/\bigl(k_1k_2k_3(r-1)\bigr)}\sim\,{\rm F}_{k_1-1,\,k_1k_2k_3(r-1)}$$
  mit

  $$SSE=\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits... ...3}\sum\limits_{j=1}^r \bigl(Y_{i_1i_2i_3j}-\overline Y_{i_1i_2i_3\cdot}\bigr)^2$$ (90)

  
  
  und

  $$SSE_H-SSE=rk_2k_3 \sum\limits_{i_1=1}^{k_1} \bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot\cdot}- \overline Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2\,.$$ (91)

  
  

• Auf völlig analoge Weise läßt sich prüfen, ob die Stufen des zweiten bzw. dritten Einflußfaktors signifikant sind.

paarweise Wechselwirkungen zwischen zwei Einflußfaktoren

$\;$

• Um zu prüfen, ob es signifikante (paarweise) Wechselwirkungen zwischen den ersten beiden Einflußfaktoren gibt, wird die folgende Hypothese getestet:

  $$H_0:\alpha^{(12)*}_{11}-\alpha^{(12)*}_{i_1i_2}=0\quad\forall\, (i_1,i_2)\in\{1,\ldots,k_1\}\times\{1,\ldots,k_2\}\,,$$ (92)

  
  
  wobei
  

  $$\alpha^{(12)*}_{i_1i_2} = \alpha^{(12)}_{i_1i_2}-\frac{1}{k_1}\sum\limits_{i_1=1}^{k_1} \al... ..._1k_2}\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \alpha^{(12)}_{i_1i_2}$$

  $$+\frac{1}{k_3}\sum\limits_{i_3=1}^{k_3} \Bigl(\alpha_{i_1i_2i_3}-... ...}\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \alpha_{i_1i_2i_3}\Bigr)\,.$$ (93)

  
  

• Dabei ist $\alpha^{(12)*}_{i_1i_2}$ für jedes Indexpaar $(i_1,i_2)$ eine erwartungstreu schätzbare Funktion von ${\boldsymbol {\beta }}$, was man sich wie folgt überlegen kann:
  • Für die in (93) eingeführte Größe gilt

    $$\alpha^{(12)*}_{i_1i_2}=\frac{1}{k_3}\sum\limits_{i_3=1}^{k_3} \B... ...}\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \theta_{i_1i_2i_3}\Bigr)\,.$$ (94)

    
    

  • Weil $\theta_{i_1i_2i_3}$ für beliebige $(i_1,i_2,i_3)$ eine erwartungstreu schätzbare Funktion von ${\boldsymbol {\beta }}$ ist und weil lineare Funktionen von schätzbaren Funktionen erneut schätzbar sind (vgl. Theorem 4.7), ergibt sich aus (94), daß auch $\alpha^{(12)*}_{i_1i_2}$ schätzbar ist.
• Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ wird die in Theorem 4.14 betrachtete Testgröße
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/\bigl((k_1-1)(k_2-1)\bigr)}{SSE/\bigl(k_1k_2k_3(r-1)\bigr)}\sim\,{\rm F}_{(k_1-1)(k_2-1),\,k_1k_2k_3(r-1)}$$
  verwendet mit der in (90) gegebenen Quadratsumme $SSE$ und
  $$SSE_H-SSE=\;rk_3 \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k... ...ine Y_{\cdot\, i_2\cdot\cdot}+\overline Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2\,.$$

dreifaktorielle Wechselwirkungen

$\;$ Um zu prüfen, ob es signifikante dreifaktorielle Wechselwirkungen zwischen den Einflußfaktoren gibt, wird die Testgröße

$$T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/\bigl((k_1-1)(k_2-1)(k_3-1)\bigr... ...l(k_1k_2k_3(r-1)\bigr)}\sim\,{\rm F}_{(k_1-1)(k_2-1)(k_3-1),\,k_1k_2k_3(r-1)}$$

verwendet mit der in (90) gegebenen Quadratsumme $SSE$ und

$$SSE_H-SSE=\;r \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}... ...line Y_{\cdot\cdot\, i_3\cdot}-\overline Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2\,.$$