Kolmogorow-Test

• In der Literatur werden weitere asymptotische Tests vorgeschlagen, um die Hypothese $H_0:P=P_0$ zu verifizieren, daß die Verteilung $P$ der unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ gleich einer vorgegebenen (hypothetischen) Verteilung $P_0$ ist (gegen die Alternativhypothese $H_1:P\not=P_0$).
• Ein solches Verfahren ist beispielsweise der Kolmogorow-Test, bei dem vorausgesetzt wird, daß die zu $P_0$ gehörende hypothetische Verteilungsfunktion $F_0:\mathbb{R}\to[0,1]$ stetig ist.
• Der Kolmogorow-Test beruht auf der Untersuchung der in Abschnitt I.1.5 eingeführten empirischen Verteilungsfunktion $\,\widehat F_n:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to[0,1]$, wobei
  $$\,\widehat F_n(t;x_1,\ldots,x_n)=\frac{\char93 \{i:\,1\le i\le n,\, x_i\le t\}}{n}\,.$$

• Dabei wird die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ betrachtet mit
  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\sup\limits _{t\in\mathbb{R}}\vert\,\widehat F_n(t;x_1,\ldots,x_n)-F_0(t)\vert\,.$$

• Der folgende Grenzwertsatz, der bereits in Abschnitt I.1.5.3 erwähnt wurde, ist die Grundlage des (asymptotischen) Kolmogorow-Tests.

Theorem 5.4   $\;$ Unter $H_0:P=P_0$ gilt

$$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n) \le x\bigr)= K(x)\,,\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}$$

gilt, wobei

$$K(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k... ...\mbox{falls $x>0$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls $x\le 0$.} \end{array}\right.$$ (56)

• Der Beweis von Theorem 5.4 geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus, denn er erfordert Hilfsmittel aus der Theorie der stochastischen Prozesse, die in den bisherigen Kursvorlesungen noch nicht behandelt wurden.
• Dabei wird insbesondere der Begriff des Gaußschen Prozesses benötigt, der als eine (unendlich dimensionale) Verallgemeinerung des in Abschnitt 3.2 eingeführten Begriffes der multivariaten Normalverteilung aufgefaßt werden kann.
• Darüber hinaus wird der Begriff der Verteilungskonvergenz in Funktionenräumen sowie ein sogenannter funktionaler zentraler Grenzwertsatz benötigt, der als eine (unendlich dimensionale) Verallgemeinerung des multivariaten zentralen Grenzwertsatzes (vgl. Theorem 5.3) aufgefaßt werden kann.

Beachte

 

• Bei hinreichend großem Stichprobenumfang (als ,,Faustregel'' gilt $n>40$, vgl. die Bemerkung am Ende von Abschnitt I.1.5.3) wird die Hypothese $H_0:P=P_0$ deshalb abgelehnt, falls $T_n(x_1,\ldots,x_n)>\xi_\gamma$, wobei $\xi_\gamma$ das $\gamma$-Quantil der in (56) gegebenen Kolmogorow-Verteilung bezeichnet, d.h., $\xi_\gamma$ ist Lösung der Gleichung
  $$K(\xi_\gamma)=\gamma\,.$$

• Falls $T_n(x_1,\ldots,x_n)\le \xi_\gamma$, dann wird die Hypothese $H_0:P=P_0$ nicht abgelehnt.