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Konfidenzintervalle; Prognose von Zielwerten


Beachte
 

Theorem 2.6   Sei $ x_0\in\mathbb{R}$ eine beliebige reelle Zahl. 
1.
Durch den Ansatz $ \widehat\alpha+\widehat\beta x_0$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für $ \alpha+\beta x_0$ gegeben mit

$\displaystyle \widehat\alpha+\widehat\beta x_0\sim\,{\rm N}\,\Bigl(\alpha+\beta...
...Bigl(\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigr)\Bigr)\,.$ (43)

2.
Mit Wahrscheinlichkeit $ \gamma$ gilt

$\displaystyle \widehat\alpha+\widehat\beta x_0-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sq...
...gamma)/2}S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\,.$ (44)

Beweis
 

Beachte
 


Wir bestimmen nun ein zufälliges Intervall, in dem nicht der Erwartungswert $ {\mathbb{E}\,}Y_0$, sondern die Zielgröße $ Y_0$ selbst mit der Wahrscheinlichkeit $ \gamma$ liegt.

Definition
 

Theorem 2.7   $ \;$ Mit Wahrscheinlichkeit $ \gamma$ gilt

$\displaystyle \widehat\alpha+\widehat\beta x_0-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sq...
...a)/2}S\sqrt{1+\,\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\,.$ (45)

Beweis
 


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Ursa Pantle 2003-03-10