Konfidenzintervalle; Prognose von Zielwerten

• Aus (38) und (39) ergeben sich ohne weiteres die folgenden Konfindenzintervalle zum Niveau $\gamma\in(0,1)$ für die Modellparameter $\alpha$ und $\beta$, vgl. auch Kapitel I.3.
• Und zwar gilt jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$

  $$\widehat\alpha-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sqrt{\Bigl(\sum\limi... ...}S\sqrt{\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\Bigr)\Bigl/\bigl(n(n-1) s^2_{xx}\bigr)}$$ (41)

  
  
  und

  $$\widehat\beta-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\bigl/\sqrt{(n-1)s^2_{... ...\beta< \widehat\beta+{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\bigl/\sqrt{(n-1)s^2_{xx}}\,.$$ (42)

  
  

Beachte

 

• Auf ähnliche Weise kann man auch ein Konfidenzintervall zum Niveau $\gamma\in(0,1)$ für den erwarteten Zielwert $\alpha+\beta x_0$ herleiten, der einem vorgegebenen Wert $x_0\in\mathbb{R}$ der Ausgangsvariable $X$ entspricht.
• Von besonderem Interesse ist dabei natürlich der Fall, daß $x_0\not\in\{x_1,\ldots,x_n\}$, d.h., wenn an der Stelle $x_0$ keine Daten erhoben werden.

Theorem 2.6   Sei $x_0\in\mathbb{R}$ eine beliebige reelle Zahl. 

1.

Durch den Ansatz $\widehat\alpha+\widehat\beta x_0$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für $\alpha+\beta x_0$ gegeben mit

$$\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\sim\,{\rm N}\,\Bigl(\alpha+\beta... ...Bigl(\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigr)\Bigr)\,.$$ (43)

2.

Mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ gilt

$$\widehat\alpha+\widehat\beta x_0-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sq... ...gamma)/2}S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\,.$$ (44)

Beweis

 

• Weil $\widehat\alpha$ und $\widehat\beta$ erwartungstreue Schätzer für $\alpha$ bzw. $\beta$ sind, ergibt sich aus der Linearität des Erwartungswertes, daß ${\mathbb{E}\,}\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr)={\mathbb{E}\,}\widehat\alpha+x_0{\mathbb{E}\,}\widehat\beta =\alpha+\beta x_0$.
• Außerdem ergibt sich aus (29)-(30) und aus den allgemeinen Rechenregeln der Varianz, daß
  

  $${\rm Var\,}\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr) = {\rm Var\,}\widehat\alpha+x_0^2{\rm Var\,}\widehat\beta +2x_0{\rm Cov\,}\bigl(\widehat\alpha,\widehat\beta\bigr)$$

  $$= \frac{\sigma^2}{n(n-1)s^2_{xx}}\;\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\;+\; \... ...^2 x_0^2}{(n-1)s^2_{xx}}\; -\;\frac{2\sigma^2 x_0 \overline x_n}{(n-1)s^2_{xx}}$$

  $$= \frac{\sigma^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigl(\frac{1}{n}\, \sum\limits_{i=1}^n x_i^2-\overline x_n^2+\overline x_n^2-2 x_0 \overline x_n+x_0^2\Bigr)$$

  $$= \frac{\sigma^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigl(\frac{1}{n}\, \sum\limits_{i=1}^n \bigl( x_i^2-\overline x_n^2\bigr)+(x_0-\overline x_n)^2\Bigr)$$

  $$= \sigma^2\,\Bigl(\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigr)\,.$$

  
  

• Weil $\widehat\alpha+\widehat\beta x_0$ eine Linearkombination der unabhängigen und normalverteilten Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ ist, folgt aus Korollar WR-3.2, daß $\widehat\alpha+\widehat\beta x_0$ ebenfalls normalverteilt ist.
• Damit ist die Gültigkeit von Teilaussage 1 bewiesen.
• In Theorem 2.5 hatten wir gezeigt, daß die Zufallsvariablen $(\widehat\alpha,\widehat\beta)$ und $S^2$ unabhängig sind.
• Folglich sind auch die Zufallsvariablen $\widehat\alpha+\widehat\beta x_0$ und $S^2$ unabhängig, vgl. Theorem WR-3.18.
• Aus Teilaussage 1, aus (31) und aus der Definition der t-Verteilung ergibt sich nun, daß
  $$\frac{\widehat\alpha+\widehat\beta x_0-(\alpha+\beta x_0)}{\disp... ...n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}}\;\sim\;{\rm t}_{n-2}\,.$$

• Hieraus ergibt sich die Gültigkeit von (44).
  
  $\Box$

Beachte

 

• Bei gegebenen (Ausgangs- und Ziel-) Daten $(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ ist die Länge des in (44) hergeleiteten Konfidenzintervalls für $\alpha+\beta x_0$ eine monoton nichtfallende Funktion des Abstandes $\vert x_0-\overline x_n\vert$, die ihr Minimum im Punkt $x_0=\overline x_n$ annimmt.
• Die in (44) hergeleitete Intervallschätzung für $\alpha+\beta x_0$ ist also dann am genauesten, wenn der Wert $x_0$ im ,,Zentrum'' der (Ausgangs-) Werte $x_1,\ldots,x_n$ liegt.
• Mit anderen Worten: In (44) wurde ein zufälliges Intervall hergeleitet, in dem
  • der (unbekannte) Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}Y_0=\alpha+\beta x_0$ der Zufallsvariable $Y_0=\alpha+\beta x_0+\varepsilon _0$ mit der (vorgegebenen) Wahrscheinlichkeit $\gamma$ liegt, wobei
  • die Störgröße $\varepsilon _0$ normalverteilt und unabhängig von den Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n$ ist; $\varepsilon _0\sim$ N $(0,\sigma^2)$.

Wir bestimmen nun ein zufälliges Intervall, in dem nicht der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}Y_0$, sondern die Zielgröße $Y_0$ selbst mit der Wahrscheinlichkeit $\gamma$ liegt.

Definition

 

• Seien $L,U:\Omega\to\mathbb{R}$ zwei Zufallsvariablen, so daß $\mathbb{P}(L\le U)=1$ und $\mathbb{P}(L<Y_0<U)\ge\gamma$.
• Dann sagt man, daß das zufällige Intervall $(L,U)$ ein Prognoseintervall für die Zielvariable $Y_0$ zum Niveau $\gamma$ ist.

Theorem 2.7   $\;$ Mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ gilt

$$\widehat\alpha+\widehat\beta x_0-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sq... ...a)/2}S\sqrt{1+\,\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\,.$$ (45)

Beweis

 

• Offenbar gilt
  

  $${\mathbb{E}\,}\bigl(Y_0-\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr)\bigr) = {\mathbb{E}\,}Y_0-{\mathbb{E}\,}\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr)$$

  $$= \alpha+\beta x_0- (\alpha+\beta x_0)=0\,.$$

  
  

• Aus der Unabhängigkeit der Störgrößen $\varepsilon _0,\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n$ folgt, daß auch die Zufallsvariablen $Y_0$ und $\bigl(\widehat\alpha,\widehat\beta,S^2\bigr)$ unabhängig sind.
• Somit gilt
  

  $${\rm Var\,}\bigl(Y_0-\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr)\bigr) = {\rm Var\,}Y_0 +{\rm Var\,}\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr)$$

  $$= \sigma^2+\sigma^2\,\Bigl(\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigr)\,.$$

  
  

• Weil außerdem $Y_0\sim$ N $(\alpha+\beta x_0,\sigma^2)$, ergibt sich hieraus und aus (43), daß
  $$Y_0-\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr)\sim\, {\rm N}\, ... ...\,\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}\Bigr)\Bigr)\,.$$

• Aus (31) und aus der Definition der t-Verteilung ergibt sich nun, daß
  $$\frac{Y_0-\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_0\bigr)}{\display... ...n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}}\;\sim\;{\rm t}_{n-2}\,.$$

• Damit ist die Behauptung bewiesen.
  
  $\Box$