Geometrische Wahrscheinlichkeiten

Während bei der Definition der Laplace'schen Wahrscheinlichkeiten, vgl. Abschnitt 2.4.1, Quotienten von Anzahlen gebildet werden, betrachtet man bei geometrischen Wahrscheinlichkeiten Quotienten von Flächeninhalten bzw. Volumina.

• Sei beispielsweise $\Omega=[0,1]^2$ das Einheitsquadrat in der euklidischen Ebene $\mathbb{R}^2$, und sei $\mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1]^2)$ die sogenannte Borel-$\sigma$-Algebra von Teilmengen des Einheitsquadrates $[0,1]^2$, die definiert ist als die kleinste $\sigma$-Algebra von Teilmengen von $[0,1]^2$, die alle offenen Recktecke $(a,b)\times(a^\prime,b^\prime)$ enthält; $0<a<b<1$, $0<a^\prime<b^\prime<1$.

• Schreibweise:
  $$\mathcal{B}([0,1]^2)=\sigma \Bigl( \underbrace{\{ (a,b)\times(a^\... ...^\prime),\,0<a<b<1,0<a^\prime<b^\prime<1\} }_{\textrm{Erzeugersystem}}\Bigr)\,.$$

• Die (geometrische) Wahrscheinlichkeit $P(A)$ von $A\in\mathcal{B}([0,1]^2)$ ist dann gegeben durch den Ansatz
  $$P(A)=\frac{\vert A\vert}{\vert[0,1]^2\vert}=\vert A\vert\,,$$
  wobei $\vert A\vert$ den ``Flächeninhalt'' (genauer: den Wert des 2-dimensionalen Lebesgue-Maßes) von $A$ bezeichnet.

Eine allgemeinere Variante der Definition der geometrischen Wahrscheinlichkeit lautet wie folgt.

Definition

$\;$

• Sei $d\in\{1,2,\ldots\}$ eine (beliebige, jedoch fest vorgegebene) natürliche Zahl, und sei $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ eine beliebige (Borelsche) Teilmenge des $d$-dimensionalen euklidischen Raumes mit $0<\vert\Omega\vert<\infty$, wobei $\vert\Omega\vert$ das $d$-dimensionale ``Volumen'' (genauer: den Wert des $d$-dimensionalen Lebesgue-Maßes) von $\Omega$ bezeichnet.
• Die Wahrscheinlichkeit von $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\cap\Omega$ ist dann gegeben durch

  $$P(A)=\frac{\vert A\vert}{\vert\Omega\vert}\;,$$ (11)

  
  
  wobei $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\cap\Omega$ die Spur-$\sigma$-Algebra der Borel-Mengen in $\Omega$ bezeichnet.
• Das Tripel $(\Omega,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\cap\Omega,P)$, wobei $P$ durch (11) gegeben ist, heißt geometrischer Wahrscheinlichkeitsraum.

Beispiel

$\;$ (Buffonsches Nadelexperiment)

• Das Buffonsche Nadelexperiment ist eine der ersten numerischen Methoden, die auf stochastischen Gesetzmäßigkeiten beruht.
• Der ,,Erfinder'' ist Georges Louis Leclerc Comte de Buffon (1707-1788).
• Heute sind solche Verfahren unter der Bezeichnung ,,Monte-Carlo-Simulation'' bekannt.
• Betrachten das System
  $$K=\{(x,y):\,(x,y)\in\{\ldots,-1,0,1,\ldots\} \times\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$$
  von parallelen und äquidistanten (vertikalen) Geraden in der euklidischen Ebene $\mathbb{R}^2$.
• Werfen eine Nadel mit der Länge 1 ,,willkürlich'' in die Ebene $\mathbb{R}^2$, wobei mit ,,willkürlich'' das folgende stochastische Modell gemeint ist.
• Betrachten die Größen $s$ und $t$, die die relative Lage der Nadel bezüglich des Geradensystems $K$ beschreiben, wobei
  • $s$ der (orthogonale) Abstand des Nadelmittelpunktes zur nächsten linksliegenden Nachbargeraden von $K$ ist,
  • $t$ der Winkel ist, den die Nadel zum Lot auf die Geraden von $K$ bildet.
• Betrachten den geometrischen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\cap\Omega,P)$ mit $\Omega=[0,1]\times[-\pi/2,\pi/2]$.
• Bestimmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A\subset\Omega$ mit
  $$A=\Bigl\{(s,t)\in\Omega:\, 0<s<\frac{1}{2}\,\cos t\Bigr\} \cup\Bigl\{ (s,t)\in\Omega:\, 1-\frac{1}{2}\,\cos t<s<1\Bigr\}\,,$$
  dass die Nadel eine der Geraden von $K$ schneidet.
• Es gilt
  

  $$P(A) = P\Bigl((s,t)\in\Omega:\, 0<s<\frac{1}{2}\,\cos t\Bigr) +P\Bigl((s,t)\in\Omega:\,1-\frac{1}{2}\,\cos t<s<1\Bigr)$$

  $$= \frac{1}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}\,\cos t\, dt +\frac{1}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}\,\cos t\, dt$$

  $$= \frac{1}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \cos t\, dt =\frac{2}{\pi}\;,$$

  
  
  d.h., für die (geometrische) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$, dass die Nadel eine der Geraden von $K$ schneidet, gilt

  $$P(A)=\frac{2}{\pi}\;.$$ (12)

  
  

• Aus der Gleichung (12) ergibt sich nun eine Methode zur experimentellen Bestimmung der Zahl $\pi$, die auf dem sogenannten Gesetz der großen Zahlen beruht, vgl. Abschnitt 5.2.2.
• Und zwar werfen wir die Nadel $n$-mal, wobei $n$ eine hinreichend große natürliche Zahl sein sollte.
• Seien $(s_1,t_1),\ldots,(s_n,t_n)$ die Ergebnissse der $n$ durchgeführten Nadelexperimente.
• Betrachten die Funktionswerte $x_1=x(s_1,t_1),\ldots,x_n=x(s_n,t_n)$ mit
  $$x(s,t)=\left\{\begin{array}{cc} 1\,, &\mbox{falls $s<\frac{1}{2}\cos t$ oder $1-\frac{1}{2}\cos t<s$,}\\ 0 & \mbox{sonst,} \end{array}\right.$$
  d.h., die Indikatoren der Ereignisse, ob die Nadel beim jeweiligen Wurf eine der Geraden von $K$ schneidet oder nicht.
• Aus (12) und aus dem starken Gesetz der großen Zahlen folgt dann, dass das arithmetische Mittel $y_n=n^{-1}\sum\limits _{i=1}^n x_i$ mit ,,großer Wahrscheinlichkeit'' eine gute Näherung der Zahl $2/\pi$ ist.
• Mit anderen Worten: Für große $n$ ist $2/y_n$ mit großer Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung der Zahl $\pi$.

Beachte

$\;$ Im Internet gibt es zahlreiche Seiten, wo dieses Verfahren implementiert worden ist und mittels JAVA-Applets auch selbst durchgeführt werden kann, vgl. beispielsweise

• http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html

Das folgende Beispiel soll deutlich machen, dass es (ähnlich wie bei der Laplace'schen Wahrscheinlichkeit) auch bei der geometrischen Wahrscheinlichkeit sehr wichtig ist, die Grundmenge $\Omega$ geeignet zu wählen.

Beispiel

$\;$ (Bertrandsches Paradoxon)

• In den Kreis $b(o,1)\subset\mathbb{R}^2$ mit Mittelpunkt im Nullpunkt und Radius Eins werde ,,auf gut Glück'' eine Sehne gelegt.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$, dass die Sehne länger als $\sqrt{3}$ ist (wobei $\sqrt{3}$ die Seitenlänge des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist).
• Beachte: Das Problem ist ,,inkorrekt'' gestellt und erfordert zunächst eine Präzisierung, was genau mit der Sprechweise ,,auf gut Glück'' gemeint ist.
• Modell 1: Der Mittelpunkt der Sehne werde ,,auf gut Glück'' in den Kreis $b(o,1)$ gelegt.
• Mit $\Omega=b(o,1)$ und $A=\{\omega\in\Omega:\, 0\le\vert\omega\vert<0.5\}$, wobei $\vert\omega\vert$ die Länge des Vektors $\omega$ bezeichnet, ergibt sich dann die Wahrscheinlichkeit
  $$P(A)=\frac{\vert A\vert}{\vert\Omega\vert}=\frac{\pi/4}{\pi}=\frac{1}{4}\;.$$

• Modell 2: Ein Endpunkt der Sehne sei fest vorgegeben, und der andere Endpunkt werde ,,auf gut Glück'' auf die Kreislinie $\partial b(o,1)$ gelegt.
• Mit $\Omega=(-\pi/2,\pi/2)$ und $A=\{\omega\in\Omega:\, -\pi/6<\omega<\pi/6\}$ ergibt sich dann die Wahrscheinlichkeit
  $$P(A)=\frac{\vert A\vert}{\vert\Omega\vert}=\frac{\pi/3}{\pi}=\frac{1}{3}\;.$$

• Modell 3: Die Richtung der Sehne sei fest vorgegeben (o.B.d.A. vertikal), und der Mittelpunkt der Sehne werde ,,auf gut Glück'' in das Intervall $(-1,1)$ gelegt.
• Mit $\Omega=(-1,1)$ und $A=\{\omega\in\Omega:\, -0.5<\omega<0.5\}$, ergibt sich dann die Wahrscheinlichkeit
  $$P(A)=\frac{\vert A\vert}{\vert\Omega\vert}=\frac{1}{2}\;.$$