Zusammengesetzte Abbildungen

Beispiel

$\;$ (Klassifikation)

• Manchmal ist es zweckmäßig, die Werte von Zufallsvariablen $X:\Omega\to\mathbb{R}$ zu klassifizieren. Dabei wird der Wertebereich $\mathbb{R}$ von $X$ in $m$ Klassen zerlegt, die wir mit der Menge der ersten $m$ natürlichen Zahlen $\{1,2,\ldots,m\}$ identifizieren.
• Mit anderen Worten: Außer der Zufallsvariablen $X$ betrachten wir noch eine weitere Abbildung $\varphi:\mathbb{R}\to\{1,2,\ldots,m\}$.
• Durch Nacheinanderausführung der Abbildungen $X$ und $\varphi$ ergibt sich dann die Abbildung $\varphi(X):\Omega\to\{1,2,\ldots,m\}$ mit $\varphi(X)(\omega)=\varphi(X(\omega))$, die jedem $\omega \in \Omega$ die Klasse $\varphi(X)(\omega)$ zuordnet.
• Um die Wahrscheinlichkeit bestimmen zu können, dass die Zufallsvariable $X$ Werte in Klasse $i$ annimmt, muss gewährleistet sein, dass

  $$\{\omega:\omega\in\Omega,\varphi(X)(\omega)=i\}\in\mathcal{F}\,.$$ (32)

  
  

• Die Abbildung $\varphi(X)$ muss also die Regularitätseigenschaft einer Zufallsvariablen besitzen, d.h. der Messbarkeitsbedingung (1) genügen.
• Um dies zu erreichen, wird über die Abbildung $\varphi$ vorausgesetzt, dass $\{x:\, x\in\mathbb{R},\varphi(x)=i\}$ eine Teilmenge von $\mathbb{R}$ aus $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, d.h. eine Borel-Menge ist, für jedes $i=1,2,\ldots,m$.
• Man kann zeigen, dass dann (32) für jedes $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ bzw. $\{\omega:\, \omega\in\Omega,\varphi(X)(\omega)\le x\}\in\mathcal{F}$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ gilt, d.h., $\varphi(X)$ ist eine Zufallsvariable.

Beachte

 

• Es interessieren auch Funktionen $\varphi:\mathbb{R}^n\to \{1,2,\ldots,m\}$ von Zufallsvektoren $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$.
• Damit auch in diesem Fall eine Bedingung an $\varphi$ formuliert werden kann, so dass die zusammengesetzte Abbildung $\varphi(X):\Omega\to\{1,2,\ldots,m\}$ eine Zufallsvariable ist, wird die Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ von Teilmengen des $\mathbb{R}^n$ betrachtet.
• Sie ist definiert als die kleinste $\sigma$-Algebra von Teilmengen des $\mathbb{R}^n$, die alle offenen Quader $\times$ $_{i=1}^n(a_i,b_i)$ enthält; $-\infty<a_i<b_i<\infty$. D.h.
  $$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)=\sigma \Bigl( \underbrace{\{ \mbox{{\La... ..._i,b_i),\,-\infty < a_i < b_i < \infty \} }_{\textrm{Erzeugersystem}}\Bigr)\,.$$

• Die Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ heißt Borel-messbar, wenn

  $$\{x:\, x\in\mathbb{R}^n, \varphi(x)\leq y\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\qquad \forall y\in\mathbb{R}\,.$$ (33)

  
  

Allgemein gilt für zusammengesetzte Abbildungen

Theorem 3.12   Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ sei ein beliebiger Zufallsvektor. Falls $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine Borel-messbare Abbildung ist, d.h., falls die Bedingung $(\ref{varphi})$ erfüllt ist, dann ist die zusammengesetzte Abbildung $\varphi(X):\Omega\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(X)(\omega)=\varphi(X(\omega))$ eine (reellwertige) Zufallsvariable, d.h., es gilt

$$\{\omega :\omega\in\Omega ,\varphi(X)(\omega )\leq z\}\in\mathcal{F} \qquad\forall z\in \mathbb{R}\,.$$ (34)

Beweis

$\;$ Um die Gültigkeit von (34) zu zeigen, genügt es zu beachten, dass für das Urbild $\varphi^{-1}(-\infty, z]$ wegen (33) gilt

$$\varphi^{-1}(-\infty, z]= \{x:\, x\in\mathbb{R}^n, \varphi(x)\leq z\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\qquad \forall z\in\mathbb{R}\,.$$

Hieraus und aus der Borel-Messbarkeit von $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ folgt, dass

$$\{\omega :\omega\in\Omega ,\varphi(X)(\omega )\leq z\} = \{\omega :\omega\in\Omega ,X(\omega )\in\varphi^{-1}(-\infty, z]\}\in\mathcal{F}$$

für jedes $z\in\mathbb{R}$.

$\Box$

Beispiel

 

• Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein beliebiger Zufallsvektor; $n\ge 2$.
• Betrachten die folgende Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1,\ldots,m\}$, die als Klassifikation der Werte von $X$ aufgefasst werden kann.
• Sei $\varepsilon>0$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene Toleranzgrenze.
• Für jedes $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ sei

  $$\varphi(x)=\vert\{(i,j): 1\le i<j\le n, -\varepsilon\le x_i-x_j\le\varepsilon\}\vert\,,$$ (35)

  
  
  d.h., $\varphi(x)$ ist die Anzahl derjenigen Paare von Komponenten $x_i,x_j$ von $x$, die sich um nicht mehr als $\varepsilon$ voneinander unterscheiden.
• Der Wertebereich $\mathbb{R}^n$ von $X$ wird dabei in $m+1={n\choose 2}+1$ Klassen zerlegt.
• Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass die in (35) gegebene Abbildung die Regularitätsbedingung (33) erfüllt.

Eine weitere wichtige Klasse von Borel-messbaren Funktionen ist durch das folgende Lemma gegeben, vgl. auch Übungsaufgabe 2.8 der Vorlesung Analysis III.

Lemma 3.1   Jede stetige Funktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ genügt der Bedingung $(\ref{varphi})$, d.h., jede stetige Funktion ist Borel-messbar.

Beweis

$\;$ Sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine stetige Abbildung. Die Begründung der Behauptung lässt sich nun in folgende Schritte zerlegen:

• Weil $\varphi^{-1}(-\infty, y]= \{x:\, x\in\mathbb{R}^n, \varphi(x)\leq y\}$ und weil für stetige Abbildungen die Urbilder abgeschlossener Mengen erneut abgeschlossene Mengen sind, ist $\{x:\, x\in\mathbb{R}^n, \varphi(x)\leq y\}$ eine abgeschlossene Teilmenge des $\mathbb{R}^n$.
• Außerdem kann man sich leicht überlegen, dass sich jede offene Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ als abzählbare Vereinigung von Quadern darstellen lässt.
• Also ist jede offene Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ eine Borel-Menge.
• Deshalb ist auch jede abgeschlossene Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ (als das Komplement einer offenen Menge) eine Borel-Menge.
• Es gilt also $\{x:\, x\in\mathbb{R}^n, \varphi(x)\leq y\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n).$
  
  $\Box$

Korollar 3.1   Sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ein Polynom, d.h., es gelte

$$\varphi(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=0}^k a_ix^{m_{i1}}_1\ldots x^{m_{in}}_n$$ (36)

für ein $k\in\mathbb{N}$ und für gewisse Konstanten $a_0,a_1,\ldots,a_k\in\mathbb{R}$, $m_{i1},\ldots,m_{in}\ge 0$. Dann ist $\varphi$ Borel-messbar.

Beweis

$\;$ Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus Lemma 3.1 und aus der Tatsache, dass jedes Polynom eine stetige Abbildung ist.

$\Box$

In den folgenden Abschnitten 3.4.2 - 3.4.4 wird eine Reihe von Spezialfällen diskutiert, bei denen $\varphi$ die in (36) gegebene Form hat.