Singuläre multivariate Normalverteilung

Der in Abschnitt 1.2.1 eingeführten Begriff der (regulären) multivariaten Normalverteilung lässt sich wie folgt verallgemeinern.

• Hierfür ist eine Faktorisierungseigenschaft von Kovarianzmatrizen nützlich, die wir bereits in Lemma 1.7 erwähnt hatten.
• Zur Erinnerung: Sei ${\mathbf{K}}$ eine symmetrische und nichtnegativ definite $n\times n$ Matrix mit ${ {\rm rg}}({\mathbf{K}})=r\le n$. Dann gibt es eine $n\times r$ Matrix ${\mathbf{B}}$ mit ${ {\rm rg}}({\mathbf{B}})=r$, so dass

  $${\mathbf{K}}={\mathbf{B}}{\mathbf{B}}^\top .$$ (24)

  
  

Definition

 

• Sei ${\mathbf{Y}}$ ein $n$-dimensionaler Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor ${\boldsymbol{\mu}}={\mathbb{E} }{\mathbf{Y}}$ und Kovarianzmatrix ${\mathbf{K}}={\rm Cov }({\mathbf{Y}})$, so dass ${ {\rm rg}}({\mathbf{K}})=r$ mit $r\le n$.
• Dann heißt ${\mathbf{Y}}$ normalverteilt, wenn ${\mathbf{Y}}\stackrel{{\rm d}}{=} {\boldsymbol{\mu}}+{\mathbf{B}}{\mathbf{Z}}$, wobei ${\mathbf{B}}$ eine $n\times r$ Matrix mit ${ {\rm rg}}({\mathbf{B}})=r$ ist, die der Gleichung (24) genügt, und ${\mathbf{Z}}$ ein $r$-dimensionaler Zufallsvektor mit ${\mathbf{Z}}\sim$ N $({\mathbf{o}},{\mathbf{I}}_r)$ ist.
• Wir sagen, dass ${\mathbf{Y}}\sim$ N $({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$ singulär normalverteilt ist, wenn ${ {\rm rg}}({\mathbf{K}})<n$.
  (Schreibweise: ${\mathbf{Y}}\sim$ N $({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$)

Beachte

 

• Wenn ${ {\rm rg}}({\mathbf{K}})=r<n$, dann ist der Zufallsvektor ${\mathbf{Y}}\sim$ N $({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$ nicht absolutstetig,
  • denn die Werte von ${\mathbf{Y}}\stackrel{{\rm d}}{=} {\boldsymbol{\mu}}+{\mathbf{B}}{\mathbf{Z}}$ liegen mit Wahrscheinlichkeit $1$ in der $r$-dimensionalen Teilmenge $\{{\boldsymbol{\mu}}+{\mathbf{B}}{\mathbf{x}}: {\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^r\}$ des $\mathbb{R}^n$,
  • d.h., die Verteilung von ${\mathbf{Y}}$ besitzt keine Dichte bezüglich des $n$-dimensionalen Lebesgue-Maßes.
  • Ein Beispiel hierfür ist der Zufallsvektor ${\mathbf{Y}}=(Z,Z)^\top={\mathbf{B}} Z$ mit $Z\sim{\rm N}(0,\sigma^2)$ und ${\mathbf{B}}=(1,1)^\top$, der nur Werte auf der Diagonalen $\{(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2: z_1=z_2\}$ annimmt.
• Die Verteilung des Zufallsvektors ${\boldsymbol{\mu}}+{\mathbf{B}}{\mathbf{Z}}$ hängt nicht von der Wahl der Matrix ${\mathbf{B}}$ in der Faktorisierungsgleichung (24) ab.
• Dies ergibt sich unmittelbar aus den folgenden beiden Kriterien für das Vorliegen von (singulären bzw. regulären) multivariaten Normalverteilungen.

Theorem 1.4    

• Sei ${\mathbf{Y}}$ ein $n$-dimensionaler Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor ${\boldsymbol{\mu}}={\mathbb{E} }{\mathbf{Y}}$ und Kovarianzmatrix ${\mathbf{K}}={\rm Cov }({\mathbf{Y}})$, so dass ${ {\rm rg}}({\mathbf{K}})=r$ mit $r\le n$.
• Der Zufallsvektor ${\mathbf{Y}}$ ist genau dann normalverteilt, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  1.

  Die charakteristische Funktion $\varphi({\mathbf{t}})={\mathbb{E} }\exp\Bigl({\rm i} \sum_{j=1}^n t_jY_j\Bigr)$ von ${\mathbf{Y}}$ ist gegeben durch

  $$\varphi({\mathbf{t}})=\exp\Bigl({\rm i} {\mathbf{t}}^\top{\bolds... ...}}\Bigr) ,\qquad\forall {\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_n)^\top\in\mathbb{R}^n .$$ (25)

  
  

  2.

  Die lineare Funktion ${\mathbf{c}}^\top{\mathbf{Y}}$ von ${\mathbf{Y}}$ ist für jedes ${\mathbf{c}}\in\mathbb{R}^n$ mit ${\mathbf{c}}\not={\mathbf{o}}$ normalverteilt mit

  $${\mathbf{c}}^\top{\mathbf{Y}}\sim {\rm N}({\mathbf{c}}^\top{\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{c}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{c}}) .$$

Der Beweis von Theorem 1.4 wird in den Übungen diskutiert (vgl. Übungsaufgabe 2.2). Er wird deshalb hier weggelassen.