Verteilung und Verteilungsfunktion

Die Regularitätsbedingung (1) kann durch die folgende (scheinbar schärfere, in Wirklichkeit jedoch äquivalente) Bedingung ersetzt werden.

Theorem 3.1   Die Abbildung $X:\Omega\to\mathbb{R}$ ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn

$$\left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right\} \in \mathcal{F}\qquad \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$$ (2)

Beweis

$\;$ Offenbar folgt (1) aus (2). Es genügt also zu zeigen, dass auch umgekehrt (2) aus (1) folgt.

• Wir zeigen zuerst, dass das Mengensystem

  $$\mathcal{G}=\{B:\,B\in\mathcal{B},\, X^{-1}(B)\in\mathcal{F}\}$$ (3)

  
  
  eine $\sigma$-Algebra ist, wobei $X^{-1}(B)=\{\omega:\,\omega\in\Omega,\, X(\omega)\in B\}$ das Urbild von $B$ bezüglich der Abbildung $X$ ist.
• Es ist klar, dass $\mathbb{R}\in\mathcal{G}$, weil $X^{-1}(\mathbb{R})=\Omega\in\mathcal{F}$.
• Außerdem gilt $B^c\in\mathcal{G}$ für jedes $B\in\mathcal{G}$, weil $X^{-1}(B^c)=\bigl(X^{-1}(B)\bigr)^c\in\mathcal{F}$.
• Analog ergibt sich, dass $B_1\cup B_2\in\mathcal{G}$ für beliebige $B_1,B_2\in\mathcal{G}$, weil
  $$X^{-1}(B_1\cup B_2)= \bigl(X^{-1}(B_1)\cup X^{-1}(B_2)\bigr)\in\mathcal{F}\,,$$

• bzw., dass $B_1\cup B_2\cup\ldots\in\mathcal{G}$ für beliebige $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{G}$.
• Also ist das in (3) gegebene Mengensystem eine $\sigma$-Algebra.
• Darüber hinaus bedeutet die Bedingung (1), dass $(-\infty,x]\in\mathcal{G}$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.
• Hieraus folgt, dass $(x,\infty)=(-\infty,x]^c\in\mathcal{G}$ und $(-\infty,x)=\bigcup_{n=1}^\infty (-\infty,x-n^{-1}]\in\mathcal{G}$.
• Deshalb gilt $(a,b)=(-\infty,b)\cap(a,\infty)\in\mathcal{G}$ für $-\infty<a\le b<\infty$.
• Also gehört das Erzeugersystem $\{(a,b),\,-\infty < a < b < \infty \}$ der Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ zu $\mathcal{G}$.
• Dies bedeutet, dass $\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset\mathcal{G}$.
• Damit ist gezeigt, dass (2) aus (1) folgt.
  
  $\Box$

Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ sei eine beliebige Zufallsvariable. Die Verteilung der Zufallsvariablen $X$ ist die Mengenfunktion $P_{X}:\mathcal{B}(\mathbb{R})\rightarrow [0,1]$ mit

$$P_{X}(B)=P\left(\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\}\right) \qquad\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$$ (4)

Beachte

 

1. Die in (4) definierte Mengenfunktion $P_X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Messraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$, denn $P_X$ ist
   • normiert, weil $P_X(\mathbb{R})=P(\Omega)=1$, und
   • $\sigma$-additiv, weil für paarweise disjunkte $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$
     

     $$P_X\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty B_i\bigr) = P\bigl(X^{-1} \bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty B_i\bigr)\bigr)$$

     $$= P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^\infty X^{-1}(B_i)\bigr)$$

     $$= \sum\limits_{i=1}^\infty P(X^{-1}(B_i))$$

     $$= \sum\limits_{i=1}^\infty P_X(B_i)\,.$$

     
     

2. Die Abbildung $P \rightarrow P_{X}$ nennt man Maßtransport vom Messraum $(\Omega ,\mathcal{F})$ in den Messraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

Die folgende Kurzschreibweise ist üblich: $P\left( X\in B\right) =P \left( \left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right\} \right) \qquad\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
Speziell: $P (X\le x)=P \left( \left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\leq x\right\} \right)\qquad \forall x\in \mathbb{R}$