Eigenschaften multivariater Verteilungsfunktionen

Theorem 3.8   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Zufallsvektor und $F_X:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ seine Verteilungsfunktion. Dann gilt

1.

Asymptotisches Verhalten im Unendlichen:$\;$ Für beliebige $i\in\{1,\ldots,n\}$ und $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$ gilt
(i) $F_X(x_1,\ldots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\ldots,x_n)=0$, wobei

$$F_X(x_1,\ldots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\ldots,x_n) =\underset{x_i\to-\infty}{\lim} F_X(x_1,\ldots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\ldots,x_n)\,;$$

(ii) $F_X(\infty,\ldots,\infty)=1$, wobei $F_X(\infty,\ldots,\infty ) =\underset{x_1,\ldots,x_n\to\infty}{\lim }F_X(x_1,\ldots,x_n)$;
(iii) $F_X(\infty,\ldots,\infty,x_i,\infty,\ldots,\infty) =F_{X_i}(x_i)$, wobei $F_X(\infty,\ldots,\infty,x_i,\infty,\ldots,\infty)$ analog zu den in (i)-(ii) betrachteten Grenzwerten definiert wird und $F_{X_i}$ Randverteilungsfunktion von $X$ genannt wird.

2.

Monotonie:$\;$ $F_X(x_1+h_1,\ldots,x_n+h_n)\geq F_X(x_1,\ldots,x_n)\; \forall x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R},\; h_1,\ldots,h_n\geq 0$

3.

Rechtsstetigkeit:$\;$ $F_X(x_1,\ldots,x_n)= \underset{h_1,\ldots,h_n\downarrow 0}{\lim }F_X(x_1+h_1,\ldots,x_n+h_n)\;\; \forall\, x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$

Der Beweis ist analog zum Beweis von Theorem 3.3 und wird deshalb weggelassen.

Definition

 

1. Der Zufallsvektor $X=(X_1,\ldots,X_n)$ heißt diskret, falls es eine abzählbare Menge $C\subset\mathbb{R}^n$ gibt, so dass $P(X\in C) =1$.
2. Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein diskreter Zufallsvektor. Dann heißt $\{P(X=x),\, x\in C\}$ Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$.

Beachte

$\;$ Falls $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein diskreter Zufallsvektor ist, dann sind auch seine Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ diskrete Zufallsvariablen. Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion $\{P(X_i=x_i),\, x_i\in C_i\}$ von $X_i$ gilt

$$P(X_i=x_i) = \underset{y_1\in C_1}{\sum}\ldots \underset{y_{i-1}\in C_{i-1}}{\... ...set{y_n\in C_n}{\sum} P(X_1=y_1,\ldots,X_{i-1}=y_{i-1},X_i=x_i,X_{i+1}=y_{i+1},$$

$$\hspace{10cm}\ldots,X_n=y_n)\,.$$

Definition

$\;$ Der Zufallsvektor $X=(X_1,\ldots,X_n)$ heißt absolutstetig, falls es eine (Lebesgue-integrierbare) Funktion $f_X:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ gibt, so dass

$$F_X(x_1,\ldots,x_n)=\int\limits^{x_n}_{-\infty}\ldots \int\limits... ...ldots,y_n)\, dy_{1}\ldots\, dy_n\qquad \forall\, x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}\,.$$ (23)

Die Funktion $f_X$ heißt (gemeinsame) Dichte von $X$.

Theorem 3.9   Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der Dichte $f_X$. Dann gilt, dass

1.

für jedes $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$

$$P_X(B)=\int\limits_B f_X(y)\, dy\,,$$ (24)

2.

die Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ von $X$ absolutstetige Zufallsvariablen sind, wobei die Dichte $f_{X_i}:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ von $X_i$ gegeben ist durch

$$f_{X_i}(x_i)=\underbrace{\int\limits^{\infty}_{-\infty}\ldots \in... ...,x_i,y_{i+1},\ldots,y_n)\, dy_1\,\ldots\, dy_{i-1}\, dy_{i+1}\,\ldots\, dy_n\,.$$ (25)

Beweis

 

• Aus der Definitionsgleichung (23) und aus dem eineindeutigen Zusammenhang zwischen der Verteilung $P_X$ und der Verteilungsfunktion $F_X$ von $X$ ergibt sich unmittelbar die Gültigkeit von (24).
• Außerdem ergibt sich aus Teilaussage 1.3 von Theorem 3.8 und aus der Definitionsgleichung (23), dass
  

  $$F_{X_i}(x_i) = F_X(\infty,\ldots,\infty,x_i,\infty,\ldots,\infty)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^{x_i} \underbrace{\int\limits^{\infty}_{-\i... ...{i+1},\ldots,y_n)\, dy_1\,\ldots\, dy_{i-1}\, dy_{i+1}\,\ldots\, dy_n\, dy_i\,.$$

  
  

• Aus dieser Darstellungsformel für die Verteilungsfunktion $F_{X_i}$ folgt unmittelbar, dass $X_i$ absolutstetig ist und die in (25) angegebene Dichte besitzt.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Die in (25) betrachtete Funktion $f_{X_i}$ heißt Randdichte von $X$.