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Ungleichungen vom -Typ
- In diesem Abschnitt verallgemeinern wir die Ungleichung (48)
von Cauchy-Schwarz und leiten weitere Ungleichungen dieses Typs
her, die wir Ungleichungen vom -Typ nennen.
- Dabei ist das folgende Hilfsergebnis nützlich, das manchmal die
Ungleichung von Young genannt wird.
Lemma 4.3
Sei
eine stetige und streng
monoton wachsende Funktion mit
und
. Für die Funktionen
und
mit
gilt dann
|
(63) |
für beliebige
, wobei
die zu
inverse Funktion ist.
- Beweis
-
- Definition
-
- Sei
ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und
sei
eine beliebige Zahl.
- Mit
bezeichnen wir dann die Familie
aller Zufallsvariablen
, für die
.
- Für jedes heißt
das -te absolute
Moment von .
Wir leiten nun eine Abschätzung für das (erste) absolute Moment
des Produktes zweier Zufallsvariablen her.
Theorem 4.15
(Hölder-Ungleichung)
Sei
, so dass
|
(64) |
und seien
beliebige Zufallsvariablen mit
und
. Dann gilt
und
|
(65) |
- Beweis
-
- Beachte
-
- Als Spezialfall der Ungleichung (65) von Hölder
ergibt sich für die Ungleichung (48) von
Cauchy-Schwarz.
- Eine weitere Folgerung aus der Ungleichung (65) von Hölder
ist das folgende Resultat.
Korollar 4.6
(Ljapunow-Ungleichung)
Falls
, dann gilt
|
(66) |
und für jedes
gilt
|
(67) |
- Beweis
-
Es gilt die folgende Abschätzung für das -te absolute Moment
der Summe von zwei Zufallvariablen.
Theorem 4.16
(Minkowski-Ungleichung)
Falls
und
, dann gilt
und
|
(68) |
- Beweis
-
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Ursa Pantle
2004-05-10