Weitere Konfidenzintervalle bei Normalverteilung

In diesem Abschnitt nehmen wir erneut an, daß die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ normalverteilt sind, d.h., es gelte

   $$\mbox{$\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}=\{$N$(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R},\, \sigma^2> 0\}\,.$}$$$$$$

Wir diskutieren die Herleitung von Konfidenzintervallen für $\mu$ bzw. $\sigma^2$.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für den Erwartungswert $\mu$ (bei unbekannter Varianz $\sigma^2$)

• Im Unterschied zu dem in Abschnitt 5.3.2 diskutierten Beispiel nehmen wir nun an, daß $X_i\sim$N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
• Das in (44) konstruierte Konfidenzintervall für $\mu$ ist jetzt nicht geeignet, weil in (44) die unbekannte Größe $\sigma$ vorkommt.
• Wir nutzen vielmehr das Ergebnis von Korollar 5.25 und erkennen, daß für jedes $\alpha\in(0,1)$

  $$P\Bigl(t_{n-1,\alpha/2}\le\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\le t_{n-1,1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$ (52)

  
  
  bzw. wegen (51)
  $$P\Bigl(-t_{n-1,1-\alpha/2}\le\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\le t_{n-1,1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$

• D.h.
  $$P\Bigl(\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\le\mu \le\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n}} \Bigr)=1-\alpha\,.$$

• Also ist mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n}}$$ (53)

  
  
  ein (symmetrisches) Konfidenzintervall für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.

Beachte

 

• Dieses Beispiel (und auch die anderen Beispiele) kann dahingehend verallgemeinert werden, daß anstelle von (52) die folgende Gleichung für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$ betrachtet wird:

  $$P\Bigl(t_{n-1,\alpha_2}\le\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\le t_{n-1,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (54)

  
  

• Hieraus ergibt sich dann das (asymmetrische) Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha_1}\frac{S_n}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha_2}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\;.$$ (55)

  
  

• Für $\alpha_1=0$ ergibt sich insbesondere das sogenannte einseitige Konfidenzintervall $\bigl(-\infty,\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\;.$$

• Analog ergibt sich für $\alpha_2=0$ das einseitige Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\infty\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\;.$$

Ähnliche Überlegungen führen nun zu Konfidenzintervallen für $\sigma^2$ bei bekanntem bzw. unbekanntem $\mu$.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für die Varianz $\sigma^2$ (bei bekanntem Erwartungswert $\mu$)

• Weil $(X_i-\mu)/\sigma\sim$ N$(0,1)$, ergibt sich aus der Definition 5.22 der $\chi ^2$-Verteilung, daß $n\tilde S^2/\sigma^2$ eine $\chi ^2$-verteilte Zufallsvariable ist mit $n$ Freiheitsgraden, wobei
  $$\tilde S_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits _ {i=1}^n(X_i-\mu)^2\,.$$

• Für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$ gilt also

  $$P\Bigl(\chi^2_{n,\alpha_2}\le\frac{n\tilde S_n^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{n,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (56)

  
  

• Dies ergibt dann das Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\sigma^2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n\tilde S_n^2}{\chi^2_{n,1-\alpha_1}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n\tilde S_n^2}{\chi^2_{n,\alpha_2}}\;.$$ (57)

  
  

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für die Varianz $\sigma^2$ (bei unbekanntem Erwartungswert $\mu$)

• Aus Theorem 5.23 ergibt sich, daß für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$

  $$P\Bigl(\chi^2_{n-1,\alpha_2}\le\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{n-1,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (58)

  
  

• Dies ergibt das Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\sigma^2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha_1}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\alpha_2}}\;.$$ (59)