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Zwei-Stichproben-Probleme
In Verallgemeinerung der Situation, die bisher in
Abschnitt 5 betrachtetet wurde, sollen nun gleichzeitig
zwei Datensätze
und
stochastisch modelliert werden.
- Dabei können die Stichprobenumfänge
beliebige
Zahlen sein, die nicht notwendig gleich sein müssen.
- Die (konkreten) Stichproben
und
fassen wir als Realisierungen von zwei
Zufallsstichproben
bzw.
auf.
Wir betrachten nun zwei (unendliche) Folgen
und
von Zufallsvariablen und nehmen an, daß
- die (zweidimensionalen) Zufallsvektoren
mit
unabhängig und
identisch verteilt sind,
- die (gemeinsame) Verteilungsfunktion von zu
einer vorgegebenen parametrischen Familie von
Verteilungsfunktionen
gehört,
,
- der Wahrscheinlichkeitsraum
, über dem die
Zufallsvektoren
definiert sind, der
kanonische Wahrscheinlichkeitsraum dieser Zufallsvektoren
ist.
- Beachte
-
Die Komponenten und von müssen jedoch
im allgemeinen weder unabhängig noch identisch verteilt sind.
Im Rahmen dieser einführenden Vorlesung betrachten wir lediglich
den Fall, daß
- ein (nichtvektorieller) Funktionswert
des Parametervektors
aus den beobachteten Daten
bzw.
geschätzt werden soll, wobei
eine
vorgegebene Borel-meßbare Funktion sei.
- Dabei diskutieren wir insbesondere die Frage, wie das
in Abschnitt 5.3.1
eingeführte Modell des Konfidenzintervalls verallgemeinert werden
kann, um zu Konfidenzintervallen ausgehend von (vektoriellen)
Stichprobenvariablen
zu gelangen.
Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir
und
betrachten
- Definition 5.26
- Sei
eine beliebige,
jedoch fest vorgegebene Zahl. Dann heißt das zufällige Intervall
Konfidenzintervall für zum Niveau
, falls
|
(61) |
für jedes
.
- Beachte
-
- Bisher hatten wir in Abschnit 5.3 stets den Fall
betrachtet, daß
für ein
.
- In den folgenden Beispielen hat die Form
bzw.
für ein vorgegebenes Paar
von Indizes.
Die Stichprobenvariablen
seien nun
normalverteilte Zufallsvektoren, wobei wir in den folgenden zwei
Beispielen außerdem voraussetzen, daß die Komponenten und
von unabhängige (jedoch im allgemeinen nicht
identisch verteilte) Zufallsvariable sind.
- Beispiel
- Konfidenzintervall für die Differenz zweier
Erwartungswerte (bei bekannten Varianzen)
- Beispiel
- Konfidenzintervall für den Quotienten zweier
Varianzen (bei unbekannten Erwartungswerten)
- Beachte
-
- Beispiel
-
Konfidenzintervall für die Differenz der Erwartungswerte von
verbundenen Stichproben
- Beachte
-
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Roland Maier
2001-08-20