Zwei-Stichproben-Tests

So wie in Abschnitt 5.3.5 nehmen wir nun an, daß die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ (zweidimensionale) normalverteilte Zufallsvektoren sind mit $X_i=(X_{1i},X_{2i})$. Dabei setzen wir zunächst voraus, daß die Komponenten $X_{1i}$ und $X_{2i}$ von $X_i$ unabhängige (jedoch im allgemeinen nicht identisch verteilte) Zufallsvariable sind.

Für zwei beliebige, jedoch vorgegebene Zahlen $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ betrachten wir also zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$, wobei wir

• die beobachteten Daten $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ als Realisierungen von $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auffassen und
• zur Vereinfachung der Schreibweise $n=\max\{n_1,n_2\}$ bzw. $x_i=(x_{1i},x_{2i})$ für $i=1,\ldots,n$ setzen.

Wir diskutieren in diesem Abschnitt nur Beispiele von zweiseitigen Tests. Wie in Abschnitt 5.4.2 gezeigt wurde, lassen sich dann leicht die entsprechenden einseitigen Tests konstruieren.

Beispiel

$\;$ Test der Gleichheit zweier Erwartungswerte (bei bekannten Varianzen)

• Wir nehmen an, daß $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (bekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$.
• Dabei soll die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ (gegen die Alternative $H_1:\mu_1\not=\mu_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2):\,\mu_1=\mu_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2):\,\mu_1\not=\mu_2\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{\overline x_{1n_1}-\overline x_{2n_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+ \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$$ (82)

  
  
  und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
• Weil $\overline X_{1n_1}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2/n_1)$ bzw. $\overline X_{2n_2}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2/n_2)$, gilt dann
  $$P_{(\mu_1,\mu_2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
  für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ mit $\mu_1=\mu_2$.
• Die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ wird abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

Beispiel

$\;$ Test der Gleichheit zweier Erwartungswerte (bei gleichen, jedoch unbekannten Varianzen)

• Wir nehmen an, daß $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (unbekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$ mit $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$.
• Dabei soll erneut die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ (gegen die Alternative $H_1:\mu_1\not=\mu_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1=\mu_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1\not=\mu_2\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{\frac{n_1\cdot n_2}{n_1+n_2}}\; \frac{\overline x_{1n_1}-\overline x_{2n_2}}{s_{n_1\,n_2}}\;,$$ (83)

  
  
  wobei
  $$s^2_{n_1\,n_2}=\frac{1}{n_1+n_2-2}\Bigl(\sum\limits _{i=1}^{n_1}(... ...ne x_{1n_1})^2+ \sum\limits _{i=1}^{n_2}(x_{2i}-\overline x_{2n_2})^2\Bigr)\,.$$

• Man kann zeigen, daß dann $\mbox{$T(X_1,\ldots,X_n)\sim$ t$_{n_1+n_2-2}$}$ für $\mu_1=\mu_2$.
• Mit dem Schwellenwert $c=t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}$ ergibt sich also
  $$P_{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert> t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
  für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ mit $\mu_1=\mu_2$ und für alle $\sigma^2>0$.
• Die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ wird somit abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}$.

Beispiel

$\;$ Test der Gleichheit zweier Varianzen (bei unbekannten Erwartungswerten)

• Wir nehmen wir an, daß $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (unbekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$.
• Dabei soll die Hypothese $H_0: \sigma^2_1=\sigma^2_2$ (gegen die Alternative $H_1:\sigma^2_1\not=\sigma^2_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R},\, \sigma_1^2,\sigma_2^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2):\,\sigma_1^2=\sigma_2^2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2):\,\sigma_1^2\not=\sigma_2^2\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{s^2_{2n_2}}{s^2_{1n_1}}\;,$$ (84)

  
  
  wobei
  $$s^2_{i\,n_i}=\frac{1}{n_i-1}\sum\limits _{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline x_{in_i})^2\,\qquad i=1,2\,.$$

• Für $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ gilt dann
     $$\mbox{$T(X_1,\ldots,X_n)\sim$ F$_{n_2-1,n_1-1}\,.$}$$$$$$

• Mit den Schwellenwerten $c_1=F_{n_2-1,n_1-1,\alpha/2}$ und $c_2=F_{n_2-1,n_1-1,1-\alpha/2}$ gilt also
  $$P_{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2)}\bigl( F_{n_2-1,n_1-1,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n)\le F_{n_2-1,n_1-1,1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha$$
  für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und für alle $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$ mit $\sigma_1^2=\sigma_2^2$.
• Die Hypothese $H_0:\sigma^2_1=\sigma_2^2$ wird somit abgelehnt, falls
  $$T(x_1,\ldots,x_n)<F_{n_2-1,n_1-1,\alpha/2}$$   oder$$\qquad T(x_1,\ldots,x_n)>F_{n_2-1,n_1-1,1-\alpha/2}\,.$$

Wir testen nun die Gleichheit zweier Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben, vgl. das letzte Beispiel in Abschnitt 5.3.5.

Dabei setzen wir voraus, daß $n_1=n_2$ $(=n)$. Die Zufallstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n})$ müssen jedoch jetzt nicht unabhängig sein.

Beispiel

 

• Wir nehmen an, daß ${\mathbb{E}\,}X_{1i}=\mu_1$ und ${\mathbb{E}\,}X_{2i}=\mu_2$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$.
• Außerdem seien die Differenzen $Y_1,\ldots,Y_n$ mit $Y_i=X_{1i}-X_{2i}$ unabhängige und identisch (normal-) verteilte Zufallsvariable mit $Y_i\sim$ N $(\mu_1-\mu_2,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
• Es soll die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ (gegen die Alternative $H_1:\mu_1\not=\mu_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1=\mu_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1\not=\mu_2\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\frac{\overline y_n}{s_{y,n}}\;,$$ (85)

  
  
  wobei $\overline y_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n y_i$ und $s_{y,n}^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits _{i=1}^n (y_i-\overline y_n)^2$.
• Dann gilt $\mbox{$T(X_1,\ldots,X_n)\sim$\ t$_{n-1}$}$ für $\mu_1=\mu_2$.
• Mit dem Schwellenwert $c=t_{n-1,1-\alpha/2}$ ergibt sich also
  $$P_{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert> t_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
  für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ mit $\mu_1=\mu_2$ und für alle $\sigma^2>0$.
• Die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ wird somit abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>t_{n-1,1-\alpha/2}$.