Asymptotische Parametertests

Wir kehren zunächst zur Betrachtung des Ein-Stichproben-Falles zurück. D.h., wir nehmen an, daß

• ein Datensatz $(x_1,\ldots,x_n)$ beobachtet wird, den wir als Realisierung einer Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ auffassen.
• Dabei setzen wir jetzt nicht mehr voraus, daß die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ normalverteilt sind, sondern lediglich, daß
• die Verteilungsfunktion $F$ von $X_i$ zu einer (beliebigen) parametrischen Familie $\Delta=\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungsfunktionen gehört.

So wie bisher in Abschnitt 5.4 betrachten wir

• eine Zerlegung $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$ des Parameterraumes in zwei disjunkte Teilmengen $\Theta_0,\Theta_1$ und
• die zugehörigen Hypothesen $H_0:\,\theta\in\Theta_0$ bzw. $H_1:\,\theta\in\Theta_1$.
• Außerdem betrachten wir für jedes $n=1,2,\ldots$ eine Borel-Menge $K_n\subset\mathbb{R}^n$ und
• eine Stichprobenfunktion $\varphi_n:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ mit
  $$\varphi_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{fa... ..._n$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $(x_1,\ldots,x_n)\not\in K_n$.} \end{array}\right.$$

Definition 5.29

$\;$ Sei $\alpha\in(0,1)$ ein beliebige (vorgegebene) Zahl. Dann sagt man, daß durch die Folge von Stichprobenfunktionen $\{\varphi_n\}$ ein asymptotischer Parametertest zum Niveau $\alpha$ gegeben ist, falls

$$\lim\limits _{n\to\infty} P_\theta(\varphi_n(X_1,\ldots,X_n)=1)\le\alpha$$

für jedes $\theta\in\Theta_0$ gilt.

Ähnlich wie bei der Konstruktion asymptotischer Konfidenzintervalle in Abschnitt 5.3.6 vorgehend, konstruieren wir nun asymptotische Tests bei Poisson- bzw. Bernoulli-Verteilung.

So wie in Abschnitt 5.4.3 diskutieren wir lediglich Beispiele von zweiseitigen asymptotischen Tests. Hiervon ausgehend lassen sich dann leicht die entsprechenden einseitigen asymptotischen Tests konstruieren.

Beispiel

$\;$ Test des Erwartungswertes $\lambda$ bei Poisson-Verteilung

• Wir nehmen an, daß $X_i\sim$ Poi$(\lambda)$ für ein (unbekanntes) $\lambda>0$.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\lambda_0>0$ soll die Hypothese $H_0: \lambda=\lambda_0$ (gegen die Alternative $H_1:\lambda\not=\lambda_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{\lambda:\,\lambda>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{\lambda_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\lambda:\,\lambda\not=\lambda_0\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sqrt... ... $\overline x_n>0$}\\ 0\,, & \mbox{falls $\overline x_n=0$} \end{array}\right.$$ (86)

  
  
  und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
• Dann gilt (vgl. die Überlegungen im ersten Beispiel des Abschnittes 5.3.6)
  $$\lim\limits _{n\to\infty} P_{\lambda_0}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha\,.$$

• Durch die in (86) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test des Erwartungswertes $\lambda$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
• Dabei wird bei der praktischen Anwendung dieses Tests (bei großem Stichprobenumfang $n$) die Hypothese $H_0: \lambda=\lambda_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

Beispiel

$\;$ Test der ,,Erfolgswahrscheinlichkeit'' $p$ bei Bernoulli-Verteilung

• Es gelte nun $X_i\sim$ Bin$(1,p)$ für ein (unbekanntes) $p\in(0,1)$, wobei
• für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $p_0\in(0,1)$ die Hypothese $H_0: p=p_0$ (gegen die Alternative $H_1:p\not=p_0$) getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{p:\,p\in(0,1)\}$ mit
  $$\Theta_0=\{p_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{p:\,p\not=p_0\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sqrt{... ...}}\;, & \mbox{falls $0<\overline x_n<1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (87)

  
  
  und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
• Dann gilt (vgl. die Überlegungen im zweiten Beispiel des Abschnittes 5.3.6)
  $$\lim\limits _{n\to\infty} P_{p_0}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha\,.$$

• Durch die in (87) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test des Parameters $p$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
• Bei großem $n$ wird die Hypothese $H_0: p=p_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

Wir betrachten nun noch zwei Beispiele von asymptotischen Tests für den Zwei-Stichproben-Fall.

• Seien $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ zwei (große) vorgegebene Zahlen.
• So wie im ersten Teil des Abschnittes 5.4.3 fassen wir die (konkreten) Stichproben $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ als Realisierungen von zwei unabhängigen (d.h. nicht verbundenen) Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auf.
• Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $n=\max\{n_1,n_2\}$ bzw. $x_i=(x_{1i},x_{2i})$ für $i=1,\ldots,n$.

Beispiel

$\;$ Test der Gleichheit zweier Erwartungswerte (bei Poisson-Verteilung)

• Wir nehmen an, daß $X_{1i}\sim$ Poi $(\lambda_1)$ und $X_{2i}\sim$ Poi $(\lambda_2)$ für (unbekannte) $\lambda_1,\lambda_2>0$.
• Dabei soll die Hypothese $H_0: \lambda_1=\lambda_2$ (gegen die Alternative $H_1:\lambda_1\not=\lambda_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\lambda_1,\lambda_2):\,\lambda_1,\lambda_2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\lambda_1,\lambda_2):\,\lambda_1=\lambda_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\lambda_1,\lambda_2):\,\lambda_1\not=\lambda_2\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\displaystyle\... ...erline x_{1n_1},\overline x_{2n_2}\}>0$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (88)

  
  
  und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
• Dann gilt (vgl. die Überlegungen im dritten Beispiel des Abschnittes 5.3.6)
  $$\lim\limits _{n\to\infty} P_{(\lambda_1,\lambda_2)}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
  für beliebige $\lambda_1,\lambda_2>0$ mit $\lambda_1=\lambda_2$.
• Durch die in (88) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test der Hypothese $H_0:\,\lambda_1=\lambda_2$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
• Bei großem $n$ wird die Nullypothese $H_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

Beispiel

$\;$ Test der Gleichheit zweier ,,Erfolgswahrscheinlichkeiten'' (bei Bernoulli-Verteilung)

• Es gelte nun $X_{1i}\sim$ Bin$(1,p_1)$ und $X_{2i}\sim$ Bin$(1,p_2)$ für (unbekannte) $p_1,p_2\in(0,1)$, wobei
• die Hypothese $H_0: p_1=p_2$ (gegen die Alternative $H_1:p_1\not=p_2$) getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{(p_1,p_2):\,p_1,p_2\in(0,1)\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(p_1,p_2):\,p_1=p_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(p_1,p_2):\,p_1\not=p_2\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\displaystyle\... ...1n_1}<1$\ oder $0<\overline x_{2n_2}<1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (89)

  
  
  und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
• Dann ergibt sich (auf die gleiche Weise wie in dem vorhergehenden Beispiel), daß
  $$\lim\limits _{n\to\infty} P_{(p_1,p_2)}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
  für beliebige $p_1,p_2\in(0,1)$ mit $p_1=p_2$.
• Durch die in (89) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test der Hypothese $H_0:\,p_1=p_2$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
• Bei großem $n$ wird die Nullypothese $H_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.