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Irreduzibilität und Aperiodizität

Theorem 2.7   $ \;$ Sei $ i\in E$ so gewählt, dass $ P(X_0=i)>0$. In diesem Fall ist der Zustand $ j\in E$ genau dann von $ i$ erreichbar, wenn $ P(\tau_j
<\infty\mid X_0=i)>0$.

Beweis
 

Beachte
 


Beispiele
 


Neben der Irreduzibilität benötigen wir noch eine weitere Eigenschaft der Zustände, nämlich die sogenannte Aperiodizität, um die Ergodizität von Markov-Ketten auf einfache Weise charakterisieren zu können.

Definition
 


Wir zeigen nun, dass die Perioden $ d_i$ und $ d_j$ übereinstimmen, wenn die Zustände $ i,j$ zu einundderselben Äquivalenzklasse von kommunizierenden Zuständen gehören. Dabei verwenden wir die Schreibweise $ i\to j[n]$, falls $ p_{ij}^{(n)}>0$.

Theorem 2.8   Falls die Zustände $ i,j\in E$ kommunizieren, dann gilt $ d_i=d_j$.

Beweis
 


Korollar 2.5   $ \:$ Die Markov-Kette $ \{X_n\}$ sei irreduzibel. Dann besitzen sämtliche Zustände von $ \{X_n\}$ die gleiche Periode.


Um zeigen zu können,

Lemma 2.3   Sei $ k=1,2,\ldots$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche Zahl $ n_0\ge 1$, so dass

$\displaystyle \{n_0,n_0+1,n_0+2,\ldots\}\subset\{n_1k+n_2(k+1); \
n_1,n_2\ge 0\}\,.
$

Beweis
 

Theorem 2.9   $ \;$ Die Übergangsmatrix $ {\mathbf{P}}$ ist genau dann quasi-positiv, wenn $ {\mathbf{P}}$ irreduzibel und aperiodisch ist.

Beweis
 


Beachte
 


Beispiel
$ \;$ (Diffusionsmodell)
vgl. P. Brémaud (1999) Markov Chains. Springer-Verlag, New York, S.76


Beachte
 


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Ursa Pantle 2003-09-29