Rekursive Konstruktion der ,,Vergangenheit''

• Zur Erinnerung 
  • In Abschnitt 2.1.3 hatten wir gezeigt, dass sich eine stationäre Markov-Kette $X_0,X_1,\ldots$ mit der Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}=(p_{ij})$ und der stationären Anfangsverteilung ${\boldsymbol{\alpha}}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_\ell)^\top$ wie folgt konstruieren lässt.
  • Dabei sind wir von einer Folge $Z_0,Z_1,\ldots$ von unabhängigen und identisch auf $[0,1]$-gleichverteilten Zufallsvariablen ausgegangen und definierten zunächst
    $$\displaystyle X_0=k$$   genau dann, wenn$$\qquad Z_0\in\Bigl(\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i,\sum_{i=1}^{k}\alpha_i\Bigr]\,,$$
    für jedes $k=1,\ldots,\ell$, d.h.,

    $$X_0=\sum_{k=1}^\ell k {1\hspace{-1mm}{\rm I}}\Bigl(\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_i <Z_0\le \sum_{i=1}^{k}\alpha_i\Bigr)\,.$$ (92)

    
    

  • Die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots$ wurden dann rekursiv definiert: Und zwar setzten wir

    $$X_n=\varphi(X_{n-1},Z_n) \mbox{für $n=1,2,\ldots,$}$$ (93)

    
    
    wobei die Funktion $\varphi:E\times[0,1]\to E$ gegeben war durch

    $$\varphi(i,z)=\sum_{k=1}^\ell k {1\hspace{-1mm}{\rm I}}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}p_{ij} <z\le \sum_{j=1}^{k}p_{ij}\Bigr)\,.$$ (94)

    
    

• Wenn das Paar $({\mathbf{P}},{\boldsymbol{\alpha}})$ reversibel ist, dann lässt sich die in (92)-(94) konstruierte stationäre Markov-Kette $X_0,X_1,\ldots$ wie folgt in die ,,Vergangenheit'' fortsetzen.
  • Und zwar setzen wir zunächst die Folge $Z_0,Z_1,\ldots$ von unabhängigen und identisch auf $[0,1]$-gleichverteilten Zufallsvariablen zu einer beidseitig unendlichen Folge $\ldots,Z_{-1},Z_0,Z_1,\ldots$ von unabhängigen und identisch auf $[0,1]$-gleichverteilten Zufallsvariablen fort.
  • Wegen der angenommen Unabhängigkeit dieser Zufallsvariablen ist dies unproblematisch, denn der Wahrscheinlichkeitsraum, über dem die Zufallsvariablen $\ldots,Z_{-1},Z_0,Z_1,\ldots$ definiert sind, kann durch die Bildung eines entsprechenden Produktraumes bzw. Produktmaßes konstruiert werden.
  • Die Zufallsvariablen $X_{-1},X_{-2},\ldots$ werden nun rekursiv definiert: Und zwar setzen wir

    $$X_{n-1}=\varphi(X_n,Z_{n-1}) \mbox{für $n=0,-1,\ldots,$}$$ (95)

    
    
    wobei die Funktion $\varphi:E\times[0,1]\to E$ in (94) gegeben ist.

Theorem 2.14    

• Sei $X_0,X_1,\ldots:\Omega\to E$ eine reversible Markov-Kette mit dem Zustandsraum $E$, mit der Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}=(p_{ij})$ und der stationären Anfangsverteilung ${\boldsymbol{\alpha}}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_\ell)^\top$, so dass $\alpha_i>0$ für jedes $i\in E$.
• Dann ist die durch $(\ref{fir.ste.sim.rev})$- $(\ref{nth.ste.sim.ver})$ gegebene, beidseitig unendliche Folge $\ldots,X_{-1},X_0,X_1,\ldots:\Omega\to E$ eine stationäre Markov-Kette mit der Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}=(p_{ij})$ und der eindimensionalen Randverteilung ${\boldsymbol{\alpha}}$.
• D.h., für beliebige $k\in \mathbb{Z}=\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}$ bzw. $i_k,i_{k+1},\ldots,i_n\in E$ und $m\ge 1$ gilt
  

  $${ P(X_k=i_k,X_{k+1}=i_{k+1},\ldots,X_{n-1}=i_{n-1},X_n=i_n)}$$

  $$= P(X_{k+m}=i_k,X_{k+m+1}=i_{k+1},\ldots,X_{n+m-1}=i_{n-1},X_{n+m}=i_n)$$

  $$= \alpha_{i_k}p_{i_ki_{k+1}}\ldots p_{i_{n-1}i_n}\,.$$

  
  

Der Beweis von Theorem 2.14 verläuft ähnlich wie der Beweis der Theoreme 2.11 bzw. 2.13 und wird deshalb weggelassen.