t-Verteilung

Wir führen nun eine weitere Klasse von statistischen Prüfverteilungen ein, die wie folgt definiert sind.

Definition

$\;$ Sei $r\in\mathbb{N}$ eine beliebige natürliche Zahl, und seien $X$ und $U_r$ unabhängige Zufallsvariablen mit $X\sim$ N$(0,1)$ und $U_r\sim\chi^2_r$. Dann sagt man, dass die Zufallsvariable

$$V_r=X\Bigl/\sqrt{\frac{U_r}{r}}$$ (40)

t-verteilt ist mit $r$ Freiheitsgraden. (Schreibweise: $V_r\sim$ t$_r$)

Theorem 1.12   Sei $V_r\sim$ t$_r$. Für die Dichte $f_{V_r}(x)$ von $V_r$ gilt dann

$$f_{V_r}(v)= \frac{\Gamma((r+1)/2)}{\Gamma(r/2)}\;\frac{1}{\sqrt{r\pi}\,(1+v^2/r)^{(r+1)/2}}$$ (41)

für jedes $v\in\mathbb{R}$.

Beweis

 

• Seien $X$ und $U_r$ unabhängige Zufallsvariablen mit $X\sim$ N$(0,1)$ und $U_r\sim\chi^2_r$.
• Für die gemeinsame Dichte $f_{(X,U_r)}(x,u)$ von $(X,U_r)$ gilt dann:

  $$f_{(X,U_r)}(x,u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2}\Bigr) \frac{u^{(r-2)/2} e^{-u/2}}{2 ^{r/2}\,\Gamma(r/2)}$$ (42)

  
  
  für beliebige $x\in\mathbb{R}$ und $u>0$.
• Wir betrachten die Abbildung $(x,u)\to(v,w)$ mit
  $$v=\frac{x}{\sqrt{u/r}}\;,\qquad w=u\,.$$

• Für die Jacobi-Determinante der Umkehrabbildung gilt $(w/r)^{1/2}$.
• Aus Theorem 1.9 ergibt sich somit für die (Rand-) Dichte $f_{V_r}(v)$ von $V_r$, dass
  

  $$f_{V_r}(v) = \int\limits_0^\infty f_{(X,U_r)}\bigl(v(w/r)^{1/2},w\bigr)\bigl(w/r\bigr)^{1/2}\,dw$$

  $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{2^{r/2}\,\Gamma(r/2)} \int\limits_... ...r) w^{(r-2)/2} \exp\Bigl(-\,\frac{w}{2}\Bigr)\Bigl(\frac{w}{r}\Bigr)^{1/2}\, dw$$

  $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{2^{r/2}\,r^{1/2}\,\Gamma(r/2)} \int\limits_0^\infty \exp\Bigl(-\frac{(1+v^2/r)w}{2}\Bigr) w^{((r+1)/2)-1}\, dw\,.$$

  
  

• Für das Integral ergibt sich aus der Darstellungsformel (24) der Gammafunktion, dass
  $$\int\limits_0^\infty \exp\Bigl(-\frac{(1+v^2/r)w}{2}\Bigr) w^{(... ...}\, dw= \frac{\Gamma((r+1)/2)}{\Bigl(\frac{(1+v^2/r)}{2}\Bigr)^{(r+1)/2}}\;.$$

• Hieraus folgt, dass für jedes $v\in\mathbb{R}$
  $$f_{V_r}(v)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{2^{r/2}\,r^{1/2}\,\Gamma(r/2)} \frac{\Gamma((r+1)/2)}{\Bigl(\frac{(1+v^2/r)}{2}\Bigr)^{(r+1)/2}}\;.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Beachte

 

• Sei $V_r\sim$ t$_r$. Für $\alpha\in(0,1)$ wird dann die (eindeutige) Lösung $t_{r,\alpha}$ der Gleichung $F_{V_r}(t_{r,\alpha})=\alpha$ das $\alpha$-Quantil der t-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden genannt, vgl. Tabelle 3 in Abschnitt 6.
• Ein JAVA-Applet zur Visualisierung von t-Verteilungen findet man beispielsweise auf der Internet-Seite:

  http://stat.tamu.edu/~jhardin/applets/index.html

• Analog zu der Symmetrieeigenschaft $z_\alpha=-z_{1-\alpha}$ der Quantile $z_\alpha$ der Standardnormalverteilung gilt auch

  $$t_{r,\alpha}=-t_{r,1-\alpha}$$ (43)

  
  
  für beliebige $r\in\mathbb{N}$ und $\alpha\in(0,1)$, weil die in (41) gegebene Dichte der t-Verteilung eine bezüglich des Nullpunktes symmetrische Funktion ist.

Theorem 1.13   Sei $(X_1,\ldots,X_n)$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit $X_i\sim {\rm N} (\mu,\sigma^2)$ für $i\in\{1,\ldots,n\}$. Dann gilt

$$\mbox{$\displaystyle\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\sim$ t$_{n-1}\,.$}$$ (44)

Beweis

 

• In Theorem 1.10 hatten wir gezeigt, dass die Zufallsvariablen $\overline X_n$ und $S^2_n$ unabhängig sind.
• Aus Theorem WR-3.18 (bzw. aus dessen vektorieller Version in Theorem 1.8) ergibt sich somit, dass auch die Zufallsvariablen
  $$\sqrt{n}\Bigl(\frac{\overline X_n-\mu }{\sigma}\Bigr)\qquad\mbox{und}\qquad \sqrt{\frac{1}{n-1}\frac{(n-1)S^2_n}{\sigma^2}}$$
  unabhängig sind.
• Außerdem ergibt sich aus Theorem 1.11, dass
     $$\mbox{$\sqrt{n}\,\displaystyle\bigl(\frac{\overline X_n-\mu }{\sigma}\bigr)\sim$\ N$(0,1)$}$$$$$$
  und
  $$\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\,.$$

• Deshalb ergibt sich unmittelbar aus der Definition der t-Verteilung, dass
  $$\frac{\sqrt{n}\,(\overline X_n-\mu )}{S_n}=\frac{\sqrt{n}\,\disp... ...ystyle\sqrt{\frac{1}{n-1}\frac{(n-1)S^2_n}{\sigma^2}}}\sim {\rm t}_{ n-1}\,.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Beachte

 

• Theorem 1.13 bietet die Möglichkeit, ein (zufälliges) Intervall anzugeben, in dem die Abweichung $\overline X_n-\mu$ des Stichprobenmittels $\overline X_n$ von dem zu schätzenden Wert $\mu$ mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt.
• Von besonderer Bedeutung ist dabei die Tatsache, dass die Kenntnis der (im allgemeinen unbekannten) Parameter $\mu$ und $\sigma^2$ nicht zur Konstruktion dieses Intervalls erforderlich ist.
• Aus Theorem 1.13 ergibt sich nämlich auf die gleiche Weise wie bei der Herleitung von (20), dass

  $$P\Bigl(\frac{-t_{n-1,1-\alpha/2}S_n}{\sqrt{n}}<\overline X_n-\mu<\frac{t_{n-1,1-\alpha/2}S_n}{\sqrt{n}}\Bigr)= 1-\alpha$$ (45)

  
  
  für jedes $\alpha\in(0,1)$.