Zählprozesse; Erneuerungsprozesse

Sei $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $S_1,S_2,\ldots:\Omega\to[0,\infty)$ eine beliebige Folge von nichtnegativen Zufallsvariablen mit $0\le S_1\le S_2\le\ldots$.

In der Versicherungsmathematik können die Zufallsvariablen $S_n$ Zeitpunkte modellieren, zu denen Schäden eines bestimmten Typs eintreten. Dies können beispielsweise Schäden sein, die durch Naturkatastrophen wie Erdbeben oder schwere Stürme verursacht werden.

Definition

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1. Der stochastische Prozess $\{N_t,t\ge 0\}$ mit

   $$N_t=\sum_{k=1}^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_k\le t)$$ (1)

   
   
   wird Zählprozess genannt, wobei ${1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)$ der Indikator des Ereignisses $A\in\mathcal{F}$ ist, d.h. ${1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)(\omega)=1$, falls $\omega\in A$, und ${1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)(\omega)=0$, falls $\omega\not\in A$.
2. Sei $T_1,T_2,\ldots:\Omega\to[0,\infty)$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, die nur nichtnegative Werte annehmen.
   • Dann wird die Folge $\{S_n, n=0,1,\ldots\}$ mit $S_0=0$ und $S_n=T_1+\ldots +T_n$ für $n\ge 1$ ein Erneuerungspunktprozess genannt, wobei $S_n$ der $n$-te Erneuerungszeitpunkt heißt.
   • Der in (1) gegebene stochastische Prozess $\{N_t,t\ge 0\}$ wird in diesem Fall Erneuerungszählprozess bzw. kurz Erneuerungsprozess genannt.
   • Dabei wird stets vorausgesetzt, dass die ,,Zwischenankunftszeiten'' $T_n$ nicht mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich Null sind, d.h., es gelte $P(T_n>0)>0$ für jedes $n\ge 1$.