Verzögerte Erneuerungprozesse; stationäre Zuwächse

Wir betrachten nun ein etwas allgemeineres Modell von Erneuerungsprozessen. Dabei setzen wir voraus, dass $T_1,T_2,\ldots$ eine Folge von unabhängigen nichtnegativen Zufallsvariablen ist und dass die Zufallsvariablen $T_2,T_3,\ldots$ identisch verteilt sind mit der Verteilungsfunktion $F$.

Wir lassen jedoch zu, dass $T_1$ eine beliebige Verteilungsfunktion $F_1$ hat, die von $F$ verschieden sein kann.

Definition

$\;$ Die Folge $\{S_n,n\ge 1\}$ mit $S_n=T_1+\ldots +T_n$ wird dann verzögerter Erneuerungspunktprozess genannt. Der Zählprozess $\{N_t,\, t\ge 0\}$, der wiederum so wie in (1) definiert wird, heißt verzögerter Erneuerungszählprozess bzw. kurz verzögerter Erneuerungsprozess.

Völlig analog zu Theorem 2.4 lässt sich die folgende Aussage beweisen.

Theorem 2.6   Sei $0<\mu<\infty$. Dann gilt

$$\lim_{t\to\infty}\frac{H(t)}{t}= \frac{1}{\mu}\;,$$ (17)

wobei

$$H(t)={\mathbb{E}\,}N_t=\sum_{n=0}^\infty (F_1*F^{*n})(t)\,.$$ (18)

Der Fall, wenn $F_1$ die sogenannte integrierte Tailverteilungsfunktion $F^{\rm s}$ von $F$ ist, ist von besonderem Interesse, wobei

$$F^{\rm s}(x)=\frac{1}{\mu}\;\int_0^x (1-F(y))\,{\rm d}y\qquad \forall\,x\ge 0\,.$$ (19)

Theorem 2.7   Es gelte $0<\mu<\infty$ und

$$F_1(x)=F^{\rm s}(x)\qquad \forall\, x\ge 0\,.$$ (20)

Dann ist die Erneuerungsfunktion $H(t)$ gegeben durch

$$H(t)=\frac{t}{\mu}\qquad\forall\,t\ge 0\,.$$ (21)

Beweis

$\;$

• Wenn auf beiden Seiten der Gleichung (18) zu den Laplace-Stieltjes-Transformierten übergegangen wird, dann ergibt sich genauso wie im Beweis von Theorem 2.3, dass
  $$\hat l_H(s)=\frac{\hat l_{F_1}(s)}{1-\hat l_F(s)}= \frac{\hat l_{F^{\rm s}}(s)}{1-\hat l_F(s)}\,.$$

• Weil $\hat l_{F^{\rm s}}(s)=(1-\hat l_F(s))(s\mu)^{-1}$ gilt, ergibt sich hieraus, dass $\hat l_H(s)=(s\mu)^{-1}={\mu}^{-1}\int_0^\infty {\,\rm e}^{-sv}\, {\rm d}v$.
• Wegen des eineindeutigen Zusammenhanges zwischen Erneuerungsfunktionen und Laplace-Stieltjes-Transformierten, ist damit die Gültigkeit von (21) bewiesen.
  
  $\Box$

Für verzögerte Erneuerungsprozesse $\{N_t,\, t\ge 0\}$, die der Bedingung (20) genügen, lässt sich eine wesentlich schärfere Aussage als in Theorem 2.7 herleiten. Hierfür benötigen wir den folgenden Begriff: Die Zufallsvariable $T(t)=S_{N_t+1}-t$ heißt Exzess zum Zeitpunkt $t\ge 0$.

Theorem 2.8   Unter den Voraussetzungen von Theorem  $\ref{sta.ren.the}$ ist der verzögerte Erneuerungsprozess $\{N_t,t\ge 0\}$ ein Prozess mit stationären Zuwächsen.

Beweis

$\;$

• Weil die Zufallsvariablen $T_1,T_2,\ldots$ unabhängig sind, hängt die gemeinsame Verteilung der Zuwächse $N_{t_1+t}-N_{t_0+t},\ldots,N_{t_n+t}-N_{t_{n-1}+t}$ nicht von $t$ ab, falls die Verteilung des Exzesses $T(t)$ diese Eigenschaft hat.
• In Anbetracht der in Abschnitt 1.5 eingeführten Definition von Prozessen mit stationären Zuwächsen genügt es zu zeigen, dass $P(T(t)\le x)=F^{\rm s}(x)$ für jedes $x\ge 0$ gilt, und zwar unabhängig von $t$.
• Dies ergibt sich aus den folgenden Überlegungen: Es gilt
  

  $$P(T(t)\le x) = \sum_{n=1}^\infty P(S_{n-1}\le t<S_n\le t+x)$$

  $$= F^{\rm s}(t+x)-F^{\rm s}(t)+\sum_{n=1}^\infty\int_0^t\! (F(t+x-y)-F(t-y))\, {\rm d}(F^{\rm s}\!*\!F^{*(n-1)})(y)$$

  $$= F^{\rm s}(t+x)-F^{\rm s}(t)+\mu^{-1}\int_0^t (F(t+x-y)-F(t-y))\, {\rm d}y= F^{\rm s}(x)\, ,$$

  
  
  wobei sich die dritte Gleichheit aus (18) und (21) ergibt.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Weil ${\mathbb{E}\,} N_t={\mathbb{E}\,}(N_t-N_{t^\prime})+{\mathbb{E}\,}N_{t^\prime}$ für beliebige $t,t^\prime\ge 0$ mit $t^\prime\le t$ gilt, ergibt sich unmittelbar aus Theorem 2.8, dass ${\mathbb{E}\,}N_t$ eine lineare Funktion in $t$ ist. Somit implizieren die Theoreme 2.6 und 2.8 die Aussage von Theorem 2.7.