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Verzögerte Erneuerungprozesse; stationäre Zuwächse
Wir betrachten nun ein etwas allgemeineres Modell von
Erneuerungsprozessen. Dabei setzen wir voraus, dass
eine Folge von unabhängigen nichtnegativen
Zufallsvariablen ist und dass die Zufallsvariablen
identisch verteilt sind mit der
Verteilungsfunktion
.
Wir lassen jedoch zu, dass
eine beliebige
Verteilungsfunktion
hat, die von
verschieden sein kann.
- Definition
Die Folge
mit
wird dann
verzögerter Erneuerungspunktprozess genannt. Der Zählprozess
, der wiederum so wie in (1)
definiert wird, heißt verzögerter Erneuerungszählprozess
bzw. kurz verzögerter Erneuerungsprozess.
Völlig analog zu Theorem 2.4 lässt sich die folgende
Aussage beweisen.
Der Fall, wenn
die sogenannte integrierte
Tailverteilungsfunktion
von
ist, ist von
besonderem Interesse, wobei
 |
(19) |
Theorem 2.7
Es gelte

und
 |
(20) |
Dann ist die Erneuerungsfunktion

gegeben durch
 |
(21) |
- Beweis
- Wenn auf beiden Seiten der Gleichung (18) zu den
Laplace-Stieltjes-Transformierten übergegangen wird, dann ergibt
sich genauso wie im Beweis von Theorem 2.3, dass
- Weil
gilt, ergibt sich hieraus, dass
.
- Wegen des eineindeutigen Zusammenhanges zwischen
Erneuerungsfunktionen und Laplace-Stieltjes-Transformierten, ist
damit die Gültigkeit von (21) bewiesen.
Für verzögerte Erneuerungsprozesse
, die der
Bedingung (20) genügen, lässt sich eine wesentlich
schärfere Aussage als in Theorem 2.7 herleiten.
Hierfür benötigen wir den folgenden Begriff: Die Zufallsvariable
heißt Exzess zum Zeitpunkt
.
Theorem 2.8
Unter den Voraussetzungen von Theorem

ist der
verzögerte Erneuerungsprozess

ein Prozess mit
stationären Zuwächsen.
- Beweis
- Beachte
Weil
für beliebige
mit
gilt, ergibt sich
unmittelbar aus Theorem 2.8, dass
eine
lineare Funktion in
ist. Somit implizieren die
Theoreme 2.6 und 2.8 die Aussage von
Theorem 2.7.
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Ursa Pantle
2005-07-13