Erneuerungsfunktion

Definition

$\;$ Die Funktion $H:[0,\infty)\to[0,\infty)$, wobei $H(t)={\mathbb{E}\,}N_t$ die erwartete Anzahl von Erneuerungszeitpunkten im Intervall $[0,t]$ bezeichnet, wird Erneuerungsfunktion von $\{N_t\}$ genannt. Aus (1) ergibt sich, dass

$$H(t)={\mathbb{E}\,}\sum_{n=1}^\infty{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_n\l... ... {\mathbb{E}\,}{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_n\le t)=\sum_{n=1}^\infty F^{*n}(t)\,,$$ (10)

wobei $F:[0,\infty)\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der Zwischenankunftszeiten $T_n$ und $F^{*n}$ die $n$-te Faltungspotenz von $F$ bezeichnet. Dabei gilt $F^{*n}=F^{*(n-1)}*F$ und $(F*F)(t)=\int_{-\infty}^t F(t-s)\,{\rm d}F(s)$ mit $F^{*1}(t)=F(t)$ und $F^{*0}={1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,\infty))$, d.h., $F^{*0}(t)=1$ für $t\ge 0$ und $F^{*0}(t)=0$ für $t<0$.

Beachte

$\;$

1. Es ist klar, dass die Erneuerungsfunktion $H:[0,\infty)\to[0,\infty)$ monoton wachsend ist. Außerdem ist es nicht schwierig zu zeigen, dass $H(t)<\infty$ für jedes $t\ge 0$ gilt.
2. Allerdings ist es nur in wenigen Spezialfällen möglich, einfache geschlossene Formeln für die Erneuerungsfunktion $H$ herzuleiten. Die Laplace-Stieltjes-Transformierte $\hat{l}_H(s)=\int_0^\infty {\,\rm e}^{-sx}\,{\rm d}H(x)$ von $H$ lässt sich jedoch immer durch die Laplace-Stieltjes-Transformierte von $F$ ausdrücken.

Theorem 2.3   Für jedes $s>0$ gilt

$$\hat{l}_H(s)=\frac{\hat{l}_F(s)}{1-\hat{l}_F(s)}\, .$$ (11)

Beweis

$\;$ Aus (10) ergibt sich, dass

$$\displaystyle \hat{l}_H(s)=\int_0^\infty {\,\rm e}^{-sx} \,{\rm d... ...=\sum_{n=1}^\infty ( \hat{l}_F(s))^n = \frac{\hat{l}_F(s)}{1-\hat{l}_F(s)}\, ,$$

wobei die geometrische Reihe $\sum_{n=1}^\infty ( \hat{l}_F(s))^n$ konvergiert, weil $\hat{l}_F(s)<1$ für jedes $s>0$ gilt.

$\Box$

Aus Theorem 2.1 ergibt sich die Vermutung, dass die Erneuerungsfunktion $H(t)={\mathbb{E}\,}N_t$ ein ähnliches asymptotisches lineares Verhalten hat, wie es in (2) für den Erneuerungsprozess $\{N_t\}$ gezeigt wurde. Um dies zu zeigen, benötigen wir den folgenden Hilfssatz, der in der Literatur die Waldsche Identität für Erneuerungsprozesse genannt wird.

Lemma 2.1   Sei $g:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ein beliebige Borel-messbare Funktion. Dann gilt für jedes $t\geq 0$

$${\mathbb{E}\,}\Bigl(\sum_{i=1}^{N_t+1}g(T_{i})\Bigr) = {\mathbb{E}\,}g(T_1)({\mathbb{E}\,} N_t+1)\,.$$ (12)

Beweis

$\;$

• Um die Gültigkeit von (12) zu zeigen, führen wir die folgenden Hilfsvariablen ein: Sei
  $$Y_{i} = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \mbox{falls $i>N_t+1$,}\\ 1 & \mbox{falls $i \leq N_t+1$.} \end{array}\right.$$

• Dann ergibt sich aus dem Satz über die monotone Konvergenz, dass
  $${\mathbb{E}\,}\Bigl(\sum_{i=1}^{N_t+1}g(T_{i})\Bigr) = {\mathbb{E... ...fty}g(T_{i}) Y_{i}\Bigr)= \sum_{i=1}^{\infty}{\mathbb{E}\,}(g(T_{i}) Y_{i})\,,$$
  wobei die Erwartungswerte in der letzten Summe genauer bestimmt werden können, weil die Zufallsvariablen $g(T_{i})$ und $Y_{i}$ unabhängig sind.
• Dies gilt, weil die Bernoulli-Variable $Y_{i}$ genau dann von $T_{i}$ unabhängig ist, wenn das Ereignis $\{Y_{i}=1\}$ von $T_{i}$ unabhängig ist.
• Es gilt jedoch $\{Y_{i}=1\} = \{N_t+1 \geq i\}=\{S_{i-1} \leq t\}$, und das letzte Ereignis ist unabhängig von $T_{i}$.
• Hieraus folgt, dass
  

  $${{\mathbb{E}\,}\Bigl(\sum_{i=1}^{N_t+1}g(T_{i})\Bigr) = \sum_{i=1... ...(T_{i}){\mathbb{E}\,}Y_{i} ={\mathbb{E}\,}g(T_1)\sum_{i=1}^{\infty} P(Y_{i}=1)}$$

  $$= {\mathbb{E}\,}g(T_1) \sum_{i=1}^{\infty}P(N_t+1\ge i) = {\mathbb{E}\,}g(T_1)({\mathbb{E}\,}N_t +1)\, .$$

  
  
  
   
    $\Box$
  
  
  

Wir sind nun in der Lage, das folgende Theorem zu beweisen, das in der Literatur der elementare Erneuerungssatz genannt wird.

Theorem 2.4   Sei $0<\mu<\infty$. Dann gilt

$$\lim_{t\to\infty}\frac{H(t)}{t}= \frac{1}{\mu}\;.$$ (13)

Beweis

$\;$

• Aus Theorem 2.1 ergibt sich mit Hilfe des Lemmas von Fatou, dass
  $$\mu^{-1}={\mathbb{E}\,}\liminf_{t\to\infty}t^{-1}{N_t}\le \liminf_{t\to\infty}t^{-1}{{\mathbb{E}\,}N_t}= \liminf_{t\to\infty}t^{-1}{H(t)}\,.$$

• Andererseits gilt auch

  $$\mu^{-1}\ge \limsup_{t\to\infty}t^{-1}{H(t)}\,.$$ (14)

  
  

• Um dies zu zeigen, betrachten wir die gestutzten Zwischenankunftszeiten $T^\prime_n=\min\{T_n, b\}$ für ein hinreichend großes $b>0$, so dass ${\mathbb{E}\,}T^\prime_n>0$.
• Sei $\{N^\prime_t,t\ge 0\}$ der entsprechende Zählprozess mit

  $$N^\prime_t=\sum_{n=1}^\infty{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_n^\prime\le t)\, ,\qquad S_n^\prime=\sum_{i=1}^n T_i^\prime\, ,$$ (15)

  
  
  und $H^\prime(t)={\mathbb{E}\,}N^\prime_t$.
• Dann gilt $N^\prime_t\ge N_t$ und somit $H^\prime(t)\ge H(t)$ für jedes $t\ge 0$. Hieraus und aus Lemma 2.1 ergibt sich, dass
  

  $$\limsup_{t\to\infty}t^{-1}{H(t)} \le \limsup_{t\to\infty}t^{-1}{H^\prime(t)} \le \limsup_{t\to\infty}{t}^{-1} \frac{{\mathbb{E}\,}S^\prime_{N^\prime_t+1}}{{\mathbb{E}\,}T_1^\prime}$$

  $$\le \limsup_{t\to\infty}{t}^{-1}{\mathbb{E}\,}\bigl(S^\prime_{N^\prime_t}+ T^\prime_{N^\prime_t+1}\bigr)({\mathbb{E}\,}T_1^\prime)^{-1}$$

  $$\le \limsup_{t\to\infty}{t}^{-1} (t+b)({\mathbb{E}\,}T_1^\prime)^{-1}=({\mathbb{E}\,} T_1^\prime)^{-1}\,.$$

  
  

• Damit ist (14) bewiesen, denn es gilt $\lim_{b\to\infty} {\mathbb{E}\,}T_1^\prime={\mathbb{E}\,}T_1$.
  
  $\Box$

Außer der in Theorem 2.4 hergeleiteten asymptotischen Linearität lässt sich noch eine wesentliche schärfere Aussage über das asymptotische Verhalten der Erneuerungsfunktion $H(t)$ für $t\to\infty$ herleiten.

Der folgende Grenzwertsatz wird in der Literatur Erneuerungssatz von Blackwell bzw. Haupterneuerungssatz. genannt. Er besagt, dass sich das Erneuerungsmaß $H:\mathcal{B}([0,\infty)\to[0,\infty)$ mit

$$H(B)=\sum_{n=0}^\infty \int_B\, {\rm d} F^{*n}(x)\,,\qquad B\in \mathcal{B}([0,\infty)$$

asymptotisch genauso wie das Lebesgue-Maß verhält.

Theorem 2.5   Sei $0<\mu<\infty$, und die Verteilungsfunktion $F$ sei nicht gitterförmig, d.h., die Wachstumspunkte von $F$ liegen nicht auf einem regelmäßigen Gitter. Dann gilt

$$\lim_{x\to\infty}\left(H(x)-H(x-y)\right)= \frac{y}{\mu}\qquad\forall\, y\ge 0\,.$$ (16)

Der Beweis von Theorem 2.5 geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen. Er kann beispielsweise in Kallenberg (2001), S. 172-174 nachgelesen werden .