Konstruktion von Wiener-Prozessen; Simulationsalgorithmus

Aus Lemma 2.7 ergibt sich, dass man

• von dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$, über dem die Folge $\{Y_n,\,n\ge 1\}$ von N$(0,1)$-verteilten Zufallsvariablen gegeben ist,
• zu dem folgenden (eingeschränkten) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ übergehen kann, wobei
  

  $$\Omega^\prime = \{\omega\in\Omega:\,\vert X_n(\omega)\vert={\rm O}(\sqrt{\log n})\;\;\mbox{für $n\to\infty$\ } \}\,,$$

  $$\mathcal{F}^\prime = \mathcal{F}\cap\Omega^\prime\,, \mbox{d.h., $\mathcal{F}^\prime=\{A\cap\Omega^\prime:\, A\in\mathcal{F}\}\,,$}$$

  $$P^\prime = P_{\vert\mathcal{F}^\prime}\,, \mbox{d.h., $P^\prime(A\cap\Omega^\prime)=P(A)$\ für jedes $A\in\mathcal{F}$} \,.$$

  
  

Beachte

$\;$

• Weil vorausgesetzt wird, dass die N$(0,1)$-verteilten Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\ldots$ unabhängig sind, kann $(\Omega,\mathcal{F},P)$ beispielsweise der sogenannte kanonische Wahrscheinlichkeitsraum sein mit
  $$(\Omega,\mathcal{F},P)=\bigl(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\ldo... ...mathbb{R})\otimes\ldots,\, {\rm N}(0,1)\times{\rm N}(0,1)\times\ldots\bigr)\,.$$

• Weil man sich leicht überlegen kann, dass $\Omega^\prime\in\mathcal{F}$ gilt und weil $P(\Omega^\prime)=1$ wegen Lemma 2.7, ist somit $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ ein wohldefinierter Wahrscheinlichkeitsraum.

Insgesamt ergibt sich nun der folgende Ansatz zur Konstruktion von Wiener-Prozessen in $[0,1]$.

Theorem 2.21   $\;$

• Sei $\{Y_n,\,n\ge 1\}$ eine Folge von unabhängigen und N$(0,1)$-verteilten Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$, und sei $S_1,S_2,\ldots:[0,1]\to[0,\infty)$ das in $(\ref{def.haa.one})$- $(\ref{def.haa.the})$ bzw. $(\ref{def.sch.fun})$ gegebene System von Schauder-Funktionen.
• Dann ist der stochastische Prozess $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ mit

  $$X_t=\sum_{n=1}^\infty Y_n\; S_n(t)\qquad\forall\, t\in[0,1]$$ (13)

  
  
  ein Prozess mit unabhängigen und normalverteilten Zuwächsen über dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ und ein Wiener-Prozess in $[0,1]$ über dem eingeschränkten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$.

Beweis

 

• Mit Hilfe von (7) ergibt sich aus der ersten Teilaussage von Lemma 2.8, dass die in (13) eingeführte Größe $X_t$ für jedes $t\in[0,1]$ eine wohldefinierte (normalverteilte) Zufallsvariable ist, wobei

  $$X_t\sim{\rm N}(0,t)\qquad\forall\,t\in[0,1]\,.$$ (14)

  
  
  • Denn es gilt
    $$\sum_{n=1}^\infty S_n^2(t)=\sum_{n=1}^\infty \Bigl(\int_0^1 H_n(s... ...igl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,t]),\,{1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,t])\bigr)=t\,,$$

  • Dabei ergibt sich die vorletzte Gleichheit aus Lemma 2.5, weil ${1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,t])\in L_2$ und weil somit aus (5) folgt, dass
    $$\bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,t]),\,{1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,t])\bigr) =\sum_{n=1}^\infty\bigl(H_n,{1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,t])\bigr)^2\,.$$

• Außerdem gilt $X_{t_2}-X_{t_1}=\sum_{n=1}^\infty Y_n\; \bigl(S_n(t_2)-S_n(t_1)\bigr)$ für beliebige $t_1,t_2\ge 0$ mit $t_1<t_2$,
  • und ähnlich wie beim Beweis von (14) kann man zeigen, dass
    $$X_{t_2}-X_{t_1}\sim{\rm N}(0,t_2-t_1)\,,$$

  • weil
    $$\sum_{n=1}^\infty \bigl(S_n(t_2)-S_n(t_1)\bigr)^2=t_2-t_1\,,$$

  • d.h. insbesondere, dass die Zuwächse $X_{t_2}-X_{t_1}$ des stochastischen Prozesses $\{X_t\}$ normalverteilt sind.
• Wir zeigen nun, dass $\{X_t\}$ ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist.
  • Aus (12) ergibt sich, dass für beliebige $t_1,\ldots,t_4\ge 0$ mit $t_1<t_2\le t_3<t_4$
    $${\rm Cov\,}\bigl(X_{t_2}-X_{t_1},\,X_{t_4}-X_{t_3}\bigr) =\sum\limits_{n=1}^\infty \bigl(S_n(t_2)-S_n(t_1)\bigr)\bigl(S_n(t_4)-S_n(t_3)\bigr)\,.$$

  • Dabei ist
    

    $${\sum\limits_{n=1}^\infty \bigl(S_n(t_2)-S_n(t_1)\bigr)\bigl(S_n(t_4)-S_n(t_3)\bigr)}$$

    $$= \sum\limits_{n=1}^\infty \int_0^1 H_n(s){1\hspace{-1mm}{\rm I}}([... ...}{\rm I}}([t_1,t_2])\bigr) \bigl(H_n,\,{1\hspace{-1mm}{\rm I}}([t_3,t_4])\bigr)$$

    $$= \bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}([t_1,t_2])\,{1\hspace{-1mm}{\rm I}}([t_3,t_4])\bigr)=0\,,$$

    
    
    wobei sich die vorletzte Gleichheit erneut aus Formel (5) in Lemma 2.5 ergibt.

  • Somit gilt ${\rm Cov\,}\bigl(X_{t_2}-X_{t_1},\,X_{t_4}-X_{t_3}\bigr)=0$, und aus der zweiten Teilaussage von Lemma 2.8 ergibt sich nun, dass $\{X_t\}$ unabhängige Zuwächse hat.
• Schließlich ergibt sich aus der dritten Teilaussage von Lemma 2.6 und aus Lemma 2.7, dass sämtliche Trajektorien des Prozess $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ über dem eingeschränkten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ stetige Funktionen sind, weil
  • die Summe $\sum_{n=1}^m Y_n\; S_n(t)$ für jedes $m\ge 1$ eine stetige Funktion in $t$ ist und
  • die Konvergenz $\sum_{n=1}^m Y_n\; S_n(t)\longrightarrow_{m\to\infty}\sum_{n=1}^\infty Y_n\; S_n(t)$ gleichmäßig in $t$ erfolgt.
• Weil offenbar auch $X_0=0$ gilt, ist damit die Behauptung vollständig bewiesen.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$

• Die Aussage von Theorem 2.21 rechtfertigt den folgenden Algorithmus zur (näherungsweisen) Simulation des in (13) gegebenen Wiener-Prozesses $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$.
• Um für ein $k=2^m$ mit $m\ge 0$ die Approximation $\{X_t^{(k)},\, t\in[0,1]\}$ mit $X_t^{(k)}=\sum_{n=1}^k Y_n\; S_n(t)$ des Wiener-Prozesses $\{X_t\}$ zu simulieren,
  • generiert man zunächst die Realisierungen $y_1,\ldots,y_k$ der unabhängigen und N$(0,1)$-verteilten Zufallsvariablen $Y_1,\ldots,Y_k$ und
  • berechnet dann schrittweise die $2^n$ Segmente der Polygonzüge $\{X_t^{(2^n)}, t\in[0,1]\}$ für $n=0,1,\ldots,m$.
• Dabei kann man zum Beispiel für $m=2$ und $n=0,1,2$ wie folgt vorgehen:

  
  

  Schritt 0$\;$ Für die Realisierung $y_1$ von $Y_1$ ergibt sich der Endpunkt $(1,x_1^{(1)})=(1,y_1)$ des Segmentes $(0,0)\to(1,x_1^{(1)})$, das die entsprechende Trajektorie von $\{X_t^{(1)},\, t\in[0,1]\}$ ist.

  
  

  Schritt 1$\;$ Berechne den Mittelpunkt des Segmentes $(0,0)\to(1,x_1^{(1)})$ und addiere den Wert $y_2 S_2(1/2)$ $(=y_2/2)$ zu dessen zweiter Komponente. Dies ergibt den Wert

  $$x_{1/2}^{(2)}=y_1 S_1(1/2)+y_2S_2(1/2)\,,$$

  wobei die Trajektorie von $\{X_t^{(2)},\, t\in[0,1]\}$ aus den zwei Segmenten

  $$(0,0)\to(1/2,x_{1/2}^{(2)})$$   und$$\qquad (1/2,x_{1/2}^{(2)})\to(1,x_1^{(1)})$$

  besteht.

  
  

  Schritt 2$\;$ Berechne die Mittelpunkte der Segmente

  $$(0,0)\to(1/2,x_{1/2}^{(2)})$$   und$$\qquad (1/2,x_{1/2}^{(2)})\to(1,x_1^{(1)})$$

  und addiere jeweils die Werte $y_3 S_3(1/4)$ $(=y_3/2^{3/2})$ bzw. $y_4 S_4(3/4)$ $(=y_4/2^{3/2})$ zu deren zweiten Komponenten. Dies ergibt die Werte

  $$x_{1/4}^{(4)}=y_1 S_1(1/4)+y_2S_2(1/4)+y_3 S_3(1/4)$$   und$$\quad x_{3/4}^{(4)}=y_1 S_1(3/4)+y_2S_2(3/4)+y_4 S_4(3/4)\,,$$

  wobei die Trajektorie von $\{X_t^{(4)},\, t\in[0,1]\}$ nun aus vier Segmenten besteht:

  $$(0,0)\to(1/4,x_{1/4}^{(4)})\,,\qquad (1/4,x_{1/4}^{(4)})\to(1/2,x_{1/2}^{(2)})$$

  und

  $$(1/2,x_{1/2}^{(2)})\to(3/4,x_{3/4}^{(4)})\,,\qquad (3/4,x_{3/4}^{(4)})\to(1,x_1^{(1)})\,.$$

Beachte

 

• Die in Abschnitt 2.4.3 enthaltenen Darlegungen lassen sich auf völlig analoge Weise
  • zur Konstruktion und Simulation von Wiener-Prozessen in beliebigen beschränkten Intervallen der Form $I=[0,c]$ verwenden, wobei $c<\infty$ eine beliebige positive Zahl ist.
  • Denn man kann sich leicht überlegen, dass $\{Y_t,\,t\in[0,c]\}$ mit $Y_t=\sqrt{c}\,X_{t/c}$ ein Wiener-Prozess in $[0,c]$ ist, wenn $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ ein Wiener-Prozess in $[0,1]$ ist; vgl. auch Theorem 2.24 in Abschnitt 2.4.6.
• Wir erwähnen nun noch eine Möglichkeit, wie Wiener-Prozesse in dem unbeschränkten Intervall $I=[0,\infty)$ auf einfache Weise konstruiert werden können.
  • Hierfür genügt es, eine Doppelfolge $\{Y_{nm},\, n,m\ge 1\}$ von unabhängigen und N$([0,1])$-verteilten Zufallsvariablen zu betrachten, die über einunddemselben Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ gegeben sind.
  • Gemäß Theorem 2.21 lässt sich über dem eingeschränkten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ eine Folge $\{X_t^{(1)},\, t\in[0,1]\}$, $\{X_t^{(2)},\, t\in[0,1]\}$, $\ldots$ von unabhängigen Wiener-Prozessen jeweils im Intervall $[0,1]$ konstruieren.
  • Man kann sich leicht überlegen, dass dann durch den Ansatz
    $$X_t=\left\{\begin{array}{ll} X_t^{(1)} & \mbox{für $t\in[0,1]$,}\... ...}+ X_{t-(n-1)}^{(n)}& \mbox{für $t\in[n-1,n]$,}\\ \vdots & \end{array}\right.$$
    ein stochastischer Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ gegeben ist, der ein Wiener-Prozess in $[0,\infty)$ über dem eingeschränkten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ ist.