Weitere Verteilungs- und Pfadeigenschaften

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Weitere Verteilungs- und Pfadeigenschaften

Wir zeigen nun einige Invarianzeigenschaften des Wiener-Prozesses in $[0,\infty)$ , womit die Tatsache gemeint ist, dass bestimmte Transformationen des Wiener-Prozesses erneut zu einem Wiener-Prozess f�hren.

Theorem 2.24

Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess �ber einem (vollst�ndigen) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ .
Die stochastischen Prozesse $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$ , $i=1,\ldots,4$ mit

$\displaystyle Y_t^{(1)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -X_t\,,$ (Symmetrie) (31)

$\displaystyle Y_t^{(2)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle X_{t+t_0}-X_{t_0}$ $\displaystyle \mbox{f�r ein $t_0>0$}$ (Verschiebung des Nullpunktes) (32)

$\displaystyle Y_t^{(3)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{c}X_{t/c}$ $\displaystyle \mbox{f�r ein $c>0$,}$ (Skalierung) (33)

$\displaystyle Y_t^{(4)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} t\, X_{1/t} &\mbox{f�r $t>0$,}\\ 0 & \m... ...array}\right.\qquad\hspace{1.3cm}\mbox{{\rm (Spiegelung bei} $t=\infty${\rm )}}$ (34)

sind dann ebenfalls Wiener-Prozesse, wobei $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$ , �ber dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ wie $\{X_t\}$ gegeben sind, w�hrend $\{Y_t^{(4)},\,t\ge 0\}$ �ber einem eingeschr�nkten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ gegeben ist.

Beweis

Wir zeigen, dass die Prozesse f�r die vier Bedingungen in der Definition des Wiener-Prozesses erf�llen.
- Man kann sich leicht �berlegen, dass die Prozesse $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$ unabh�ngige Zuw�chse besitzen mit $Y^{(i)}_{t_2}-Y^{(i)}_{t_1}\sim {\rm N}(0,t_2-t_1)$ f�r $0\le t_1<t_2$ und $i=1,\ldots,4$ ,
- Offenbar gilt auch $Y_0^{(i)}=0$ f�r $i=1,\ldots,4$ .
- Au�erdem ist klar, dass die Prozesse $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$ f�r stetige Trajektorien besitzen.
Es bleibt also noch zu zeigen,
- dass mit Wahrscheinlichkeit
  
  $\displaystyle \lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=0$ (35)
- bzw. dass es f�r fast jedes $\omega\in\Omega$ und f�r jedes eine Zahl gibt, so dass
  
  $\displaystyle \sup_{t\in(0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}(\omega)\vert<\;\frac{1}{n}\,,$
- weil $\{Y_t^{(4)},\,t\ge 0\}$ dann stetige Trajektorien �ber dem Wahrscheinlichkeitrsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ hat, wobei $\Omega^\prime=\{\omega\in\Omega:\,\lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}(\omega)=0\}$ , $\mathcal{F}^\prime=\mathcal{F}\cap\Omega^\prime$ und $P^\prime$ die Einschr�nkung von auf $\mathcal{F}^\prime$ bezeichnet.
Weil die Trajektorien von $\{Y_t^{(4)},\,t\ge 0\}$ f�r jedes stetig sind, gilt

$\displaystyle \sup_{t\in(0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}\vert=\sup_{t\in\mathbb{Q}\cap (0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}\vert\,,$
wobei $\mathbb{Q}\subset (0,\infty)$ die (abz�hlbar unendliche) Menge der positiven rationalen Zahlen ist.
Hieraus folgt, dass

$\displaystyle P\bigl(\lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=0\bigr)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\Bigl(\bigcap_{n>0}\bigcup_{m>0}\bigl\{\sup_{t\in (0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$

$\displaystyle =$ $\displaystyle P\Bigl(\bigcap_{n>0}\bigcup_{m>0}\sup_{t\in\mathbb{Q}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{n^\prime,m^\prime,k=\infty} P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{n^\prime}... ...up_{t\in\mathbb{Q}_{k}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{n^\prime,m^\prime,k\to\infty} P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{n^\prim... ...}\sup_{t\in\mathbb{Q}_{k}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert X_t\vert<1/n\bigr\}\Bigr)\,,$
- wobei $\mathbb{Q}_{k}\subset \mathbb{Q}$ die (endliche) Menge der ,,ersten'' rationalen Zahlen ist
- und sich die letzte Gleichheit aus der Tatsache ergibt, dass die (endlich-dimensionalen) Zufallsvektoren $\{Y_t^{(4)},\,t\in\mathbb{Q}_{k}\}$ und $\{X_t,\,t\in\mathbb{Q}_{k}\}$ identisch verteilt sind.
Weil die Trajektorien des Wiener-Prozesses $\{X_t^,\,t\in[0,1]\}$ rechtsseitig stetig in sind, ist der letzte Grenzwert gleich . Damit ist (35) bewiesen.

$\Box$

Beachte

$\;$ Die G�ltigkeit von (35) kann auch direkt aus Korollar 2.4 gefolgert werden, denn es gilt

$\displaystyle \lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=\lim_{t\downarrow 0} t\,X_{1/t}=\lim_{t\to\infty} \frac{X_t}{t}=0\,.$

Korollar 2.5 $\;$ Sei $\{X_t,\,\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt

$\displaystyle P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t=\infty\bigr)=P\bigl(\inf_{t\ge 0}X_t=-\infty\bigr)=1\,.$

(36)

Beweis

Aus der Skalierungseigenschaft (33) in Theorem 2.24 ergibt sich,
- dass f�r beliebige
  
  $\displaystyle P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t >x\bigr)=P\bigl(\sup_{t\ge 0} \sqrt{c}X_{t/c}>x \bigr)=P\bigl(\sup_{t\ge 0} X_t>x/\sqrt{c} \bigr)\,.$
- d.h. insbesondere, dass die Wahrscheinlichkeit $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t >x\bigr)$ nicht von abh�ngt.
Hieraus folgt, dass

$\displaystyle P\bigl(\{\sup_{t\ge 0}X_t =0\}\cup\{ \sup_{t\ge 0}X_t =\infty\}\bigr)=1\,.$ (37)
Weil der Wiener-Prozess $\{X_t\}$ unabh�ngige und station�re Zuw�chse hat, gilt

$\displaystyle {P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)= P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t \le 0\... ...1} X_t \le 0\bigr) = P\bigl(X_1\le 0,\,\sup_{t\ge 1}\,(X_t-X_1) \le -X_1\bigr)}$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 1}(X_t-X_1) \le -x\bigr)\,P(X_... ...{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t \le -x\bigr)\,P(X_1\in{\rm d}x)\hspace{2cm}$

$% latex2html id marker 32362 $\displaystyle {\stackrel{(\ref{equ.nul.inf})}{=}}$$ $\displaystyle \int_{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)\,P(X_1\in{\rm d}x) = P(X_1\le 0)\;P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\;P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)\,,$

wobei sich die dritte Gleichheit aus der Invarianz-Eigenschaft von $\{X_t\}$ bez�glich der Verschiebung des Nullpunktes ergibt; vgl. die Formel (32).
Hieraus folgt, dass $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)=0$ und somit $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =\infty\bigr)=1$ .
Die G�ltigkeit von $P\bigl(\inf_{t\ge 0}X_t=-\infty\bigr)=1$ ergibt sich auf analoge Weise.

$\Box$

Beachte

Die Aussage von Korollar 2.5 ist �quivalent mit $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t=\infty,\;\inf_{t\ge 0}X_t=-\infty\bigr)=1$ .
Hieraus folgt insbesondere, dass fast alle Pfade des Wiener-Prozesses $\{X_t,\,t\ge 0\}$ in dem unbeschr�nkten Intervall $[0,\infty)$ unendlich oft zwischen positiven und negativen Werten oszillieren.
Wir zeigen nun, dass die Pfade des Wiener-Prozesses
- auch in beschr�nkten Intervallen ,,wild'' oszillieren,
- denn es stellt sich heraus, dass sie zwar stetige, jedoch mit Wahrscheinlichkeit nirgendwo differenzierbare Funktionen sind.

Theorem 2.25 $\;$ Sei $\{X_t,\,\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt

$\displaystyle P(\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$ $\displaystyle \mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[0,\infty)$}$ $\displaystyle \,)=1\,.$

(38)

Beweis

Wegen der Identit�t

$\displaystyle {\bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;\mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[0,\infty)$}\}}$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \bigcap_{i\ge 0}\bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$ $\displaystyle \mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[i,i+1]$}$ $\displaystyle \}$

gen�gt es zu zeigen, dass $P(\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$ ist nirgendwo differenzierbar in $\,)=1$ bzw., �quivalent hierzu, dass

$\displaystyle P(\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$ $\displaystyle \mbox{ist differenzierbar f�r ein $t_0=t_0(\omega)\in[0,1]$}$ $\displaystyle \,)=0\,.$ (39)
Um die G�ltigkeit von (39) zu beweisen, setzen wir f�r beliebige nat�rliche Zahlen

$\displaystyle A_{nm}=\bigl\{\omega\in\Omega:\;$ $\displaystyle \mbox{es gibt ein $t_0=t_0(\omega)\in[0,1]$\ mit}$ $\displaystyle \; \vert X_{t_0(\omega)+h}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega)\vert\le mh,\,\forall\,h\in[0,4/n]\bigr\}\,.$
- Dann gilt
  
  $\displaystyle \bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$ $\displaystyle \mbox{ist differenzierbar f�r ein $t_0=t_0(\omega)$}$ $\displaystyle \bigr\}\subset\bigcup_{m\ge 1}\bigcup_{n\ge 1} A_{nm}\,,$
- und es gen�gt somit zu zeigen, dass
  
  $\displaystyle P(A_{nm})=0\qquad\forall\,n,m\ge 1\,.$ (40)
Sei $k_0(\omega)=\min\bigl\{k\in\{0,1,\ldots\}:\,k/n\ge t_0(\omega)\bigr\}$ . Dann gilt f�r jedes $\omega\in A_{nm}$ und f�r

$\displaystyle {\bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j+1)/n}(\omega)-X_{(k_0(\omega)+j)/n}(\omega)\bigr\vert}$

$\displaystyle \le$ $\displaystyle \bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j+1)/n}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega... ...ert +\bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j)/n}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega)\bigr\vert$

$\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{8m}{n}$
Mit der Schreibweise $\Delta_n(k)=X_{(k+1)/n}-X_{k/n}$ gilt also

$\displaystyle A_{nm}\subset\bigcup_{k=0}^n\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}$
und somit

$\displaystyle P(A_{nm})$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle P\Bigl(\bigcup_{k=0}^n\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}\Bigr)$

$\displaystyle \le$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n P\Bigl(\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}\Bigr)$

$\displaystyle =$ $\displaystyle (n+1) P\Bigl(\vert\Delta_n(0)\vert\le \frac{8m}{n}\Bigr)^3$

$\displaystyle \le$ $\displaystyle (n+1)\Bigl(\frac{16\, m}{\sqrt{2\pi n}}\Bigr)^3\longrightarrow 0\qquad\mbox{f�r $n\to\infty$}\,.$
Weil $A_{nm}\subset A_{n+1,m}$ f�r jedes $n\ge 1$ , ergibt sich hieraus die G�ltigkeit von (40).

$\Box$

Korollar 2.6 $\;$ Mit Wahrscheinlichkeit

gilt

$\displaystyle P\bigl(\sup_{n\ge 1}\; \sup_{0\le t_0<\ldots<t_n\le 1 }\;\sum_{i=1}^n\vert X_{t_i}-X_{t_{i-1}}\vert=\infty\bigr)=1\,,$

(41)

d.h., fast alle Trajektorien des Wiener-Prozesses $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ sind Funktionen mit unbeschr�nkter Variation.

Beweis

$\;$ Weil jede stetige Funktion $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ mit beschr�nkter Variation fast �berall differenzierbar ist, ergibt sich die Behauptung unmittelbar aus Theorem 2.25.

$\Box$

Beachte

Ein direkter Beweis von Korollar 2.6 kann wie folgt gef�hrt werden: Es gen�gt zu zeigen, dass mit Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{2^n} \bigl\vert X_{i t/2^n} - X_{(i-1)t/2^n}\bigr\vert=\infty\qquad\forall\,t\in(0,1]\,.$ (42)
Um (42) zu beweisen, setzen wir

$\displaystyle Z_n=\sum_{i=1}^{2^n} \bigl( X_{i t/2^n} - X_{(i-1)t/2^n}\bigr)^2-t\,.$
Dann gilt ${\mathbb{E}\,}Z_n=0$ , und au�erdem kann man leicht zeigen, dass ${\mathbb{E}\,}(Z_n^2)=t^2 2^{-n+1}$ .
Aus der Tschebyschew-Ungleichung (vgl. Abschnitt WR-4.4.3) ergibt sich, dass f�r jedes $\varepsilon>0$

$\displaystyle P(\vert Z_n\vert\ge\varepsilon)\le\varepsilon^{-2}{\mathbb{E}\,}(Z_n^2)=(t/\varepsilon)^2 2^{-n+1}$
und somit $\sum_{n=1}^\infty P(\vert Z_n\vert\ge\varepsilon)<\infty$ .
Aus dem Lemma von Borel-Cantelli (vgl. Korollar WR-2.3) ergibt sich nun, dass $\lim_{n\to\infty}Z_n=0$ mit Wahrscheinlichkeit .
Hieraus folgt, dass mit Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle 0<t\le \liminf_{n\to\infty}\max_{1\le k\le 2^n} \bigl\vert X_{k t... ...r\vert\;\sum_{i=1}^{2^n} \bigl\vert X_{i t/2^n} - X_{(i-1)t/2^n}\bigr\vert \,.$
Damit ist die G�ltigkeit von (42) bewiesen, weil der Wiener-Prozess $\{X_t\}$ stetige Trajektorien hat und weil deshalb

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\max_{1\le k\le 2^n} \bigl\vert X_{k t/2^n} - X_{(k-1)t/2^n}\bigr\vert= 0\,.$

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Ursa Pantle 2005-07-13

$\displaystyle Y_t^{(1)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -X_t\,,$ (Symmetrie)	(31)
$\displaystyle Y_t^{(2)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle X_{t+t_0}-X_{t_0}$ $\displaystyle \mbox{f�r ein $t_0>0$}$ (Verschiebung des Nullpunktes)	(32)
$\displaystyle Y_t^{(3)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{c}X_{t/c}$ $\displaystyle \mbox{f�r ein $c>0$,}$ (Skalierung)	(33)
$\displaystyle Y_t^{(4)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} t\, X_{1/t} &\mbox{f�r $t>0$,}\\ 0 & \m... ...array}\right.\qquad\hspace{1.3cm}\mbox{{\rm (Spiegelung bei} $t=\infty${\rm )}}$	(34)

$\displaystyle P\bigl(\lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=0\bigr)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle P\Bigl(\bigcap_{n>0}\bigcup_{m>0}\bigl\{\sup_{t\in (0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle P\Bigl(\bigcap_{n>0}\bigcup_{m>0}\sup_{t\in\mathbb{Q}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{n^\prime,m^\prime,k=\infty} P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{n^\prime}... ...up_{t\in\mathbb{Q}_{k}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{n^\prime,m^\prime,k\to\infty} P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{n^\prim... ...}\sup_{t\in\mathbb{Q}_{k}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert X_t\vert<1/n\bigr\}\Bigr)\,,$

$\displaystyle {P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)= P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t \le 0\... ...1} X_t \le 0\bigr) = P\bigl(X_1\le 0,\,\sup_{t\ge 1}\,(X_t-X_1) \le -X_1\bigr)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 1}(X_t-X_1) \le -x\bigr)\,P(X_... ...{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t \le -x\bigr)\,P(X_1\in{\rm d}x)\hspace{2cm}$
	$% latex2html id marker 32362 $\displaystyle {\stackrel{(\ref{equ.nul.inf})}{=}}$$	$\displaystyle \int_{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)\,P(X_1\in{\rm d}x) = P(X_1\le 0)\;P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}\;P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)\,,$

$\displaystyle {\bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;\mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[0,\infty)$}\}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \bigcap_{i\ge 0}\bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$ $\displaystyle \mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[i,i+1]$}$ $\displaystyle \}$

$\displaystyle {\bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j+1)/n}(\omega)-X_{(k_0(\omega)+j)/n}(\omega)\bigr\vert}$
	$\displaystyle \le$	$\displaystyle \bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j+1)/n}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega... ...ert +\bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j)/n}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega)\bigr\vert$
	$\displaystyle \le$	$\displaystyle \frac{8m}{n}$

$\displaystyle P(A_{nm})$	$\displaystyle \le$	$\displaystyle P\Bigl(\bigcup_{k=0}^n\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}\Bigr)$
	$\displaystyle \le$	$\displaystyle \sum_{k=0}^n P\Bigl(\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}\Bigr)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (n+1) P\Bigl(\vert\Delta_n(0)\vert\le \frac{8m}{n}\Bigr)^3$
	$\displaystyle \le$	$\displaystyle (n+1)\Bigl(\frac{16\, m}{\sqrt{2\pi n}}\Bigr)^3\longrightarrow 0\qquad\mbox{f�r $n\to\infty$}\,.$