Weitere Verteilungs- und Pfadeigenschaften

Wir zeigen nun einige Invarianzeigenschaften des Wiener-Prozesses in $[0,\infty)$, womit die Tatsache gemeint ist, dass bestimmte Transformationen des Wiener-Prozesses erneut zu einem Wiener-Prozess führen.

Theorem 2.24    

• Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess über einem (vollständigen) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$.
• Die stochastischen Prozesse $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$, $i=1,\ldots,4$ mit
  

  $$Y_t^{(1)} = -X_t\,,$$ (31)

  $$Y_t^{(2)} = X_{t+t_0}-X_{t_0} \mbox{für ein $t_0>0$}$$ (32)

  $$Y_t^{(3)} = \sqrt{c}X_{t/c} \mbox{für ein $c>0$,}$$ (33)

  $$Y_t^{(4)} = \left\{\begin{array}{ll} t\, X_{1/t} &\mbox{für $t>0$,}\\ 0 & \m... ...array}\right.\qquad\hspace{1.3cm}\mbox{{\rm (Spiegelung bei} $t=\infty${\rm )}}$$ (34)

  
  
  sind dann ebenfalls Wiener-Prozesse, wobei $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$, $i=1,2,3$ über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ wie $\{X_t\}$ gegeben sind, während $\{Y_t^{(4)},\,t\ge 0\}$ über einem eingeschränkten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ gegeben ist.

Beweis

 

• Wir zeigen, dass die Prozesse $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$ für $i=1,\ldots,4$ die vier Bedingungen in der Definition des Wiener-Prozesses erfüllen.
  • Man kann sich leicht überlegen, dass die Prozesse $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$ unabhängige Zuwächse besitzen mit $Y^{(i)}_{t_2}-Y^{(i)}_{t_1}\sim {\rm N}(0,t_2-t_1)$ für $0\le t_1<t_2$ und $i=1,\ldots,4$,
  • Offenbar gilt auch $Y_0^{(i)}=0$ für $i=1,\ldots,4$.
  • Außerdem ist klar, dass die Prozesse $\{Y_t^{(i)},\,t\ge 0\}$ für $i=1,2,3$ stetige Trajektorien besitzen.
• Es bleibt also noch zu zeigen,
  • dass mit Wahrscheinlichkeit $1$

    $$\lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=0$$ (35)

    
    

  • bzw. dass es für fast jedes $\omega\in\Omega$ und für jedes $n>0$ eine Zahl $m>0$ gibt, so dass
    $$\sup_{t\in(0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}(\omega)\vert<\;\frac{1}{n}\,,$$

  • weil $\{Y_t^{(4)},\,t\ge 0\}$ dann stetige Trajektorien über dem Wahrscheinlichkeitrsraum $(\Omega^\prime,\mathcal{F}^\prime,P^\prime)$ hat, wobei $\Omega^\prime=\{\omega\in\Omega:\,\lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}(\omega)=0\}$, $\mathcal{F}^\prime=\mathcal{F}\cap\Omega^\prime$ und $P^\prime$ die Einschränkung von $P$ auf $\mathcal{F}^\prime$ bezeichnet.
• Weil die Trajektorien von $\{Y_t^{(4)},\,t\ge 0\}$ für jedes $t>0$ stetig sind, gilt
  $$\sup_{t\in(0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}\vert=\sup_{t\in\mathbb{Q}\cap (0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}\vert\,,$$
  wobei $\mathbb{Q}\subset (0,\infty)$ die (abzählbar unendliche) Menge der positiven rationalen Zahlen ist.
• Hieraus folgt, dass
  

  $$P\bigl(\lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=0\bigr) = P\Bigl(\bigcap_{n>0}\bigcup_{m>0}\bigl\{\sup_{t\in (0,1/m]}\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$$

  $$= P\Bigl(\bigcap_{n>0}\bigcup_{m>0}\sup_{t\in\mathbb{Q}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$$

  $$= \lim_{n^\prime,m^\prime,k=\infty} P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{n^\prime}... ...up_{t\in\mathbb{Q}_{k}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert Y_t^{(4)}\vert<1/n\bigr\}\Bigr)$$

  $$= \lim_{n^\prime,m^\prime,k\to\infty} P\Bigl(\bigcap_{n=1}^{n^\prim... ...}\sup_{t\in\mathbb{Q}_{k}\cap (0,1/m]}\bigl\{\vert X_t\vert<1/n\bigr\}\Bigr)\,,$$

  
  
  • wobei $\mathbb{Q}_{k}\subset \mathbb{Q}$ die (endliche) Menge der ,,ersten'' $k$ rationalen Zahlen ist
  • und sich die letzte Gleichheit aus der Tatsache ergibt, dass die (endlich-dimensionalen) Zufallsvektoren $\{Y_t^{(4)},\,t\in\mathbb{Q}_{k}\}$ und $\{X_t,\,t\in\mathbb{Q}_{k}\}$ identisch verteilt sind.
• Weil die Trajektorien des Wiener-Prozesses $\{X_t^,\,t\in[0,1]\}$ rechtsseitig stetig in $t=0$ sind, ist der letzte Grenzwert gleich $1$. Damit ist (35) bewiesen.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Die Gültigkeit von (35) kann auch direkt aus Korollar 2.4 gefolgert werden, denn es gilt

$$\lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=\lim_{t\downarrow 0} t\,X_{1/t}=\lim_{t\to\infty} \frac{X_t}{t}=0\,.$$

Korollar 2.5   $\;$ Sei $\{X_t,\,\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt

$$P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t=\infty\bigr)=P\bigl(\inf_{t\ge 0}X_t=-\infty\bigr)=1\,.$$ (36)

Beweis

 

• Aus der Skalierungseigenschaft (33) in Theorem 2.24 ergibt sich,
  • dass für beliebige $c,x>0$
    $$P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t >x\bigr)=P\bigl(\sup_{t\ge 0} \sqrt{c}X_{t/c}>x \bigr)=P\bigl(\sup_{t\ge 0} X_t>x/\sqrt{c} \bigr)\,.$$

  • d.h. insbesondere, dass die Wahrscheinlichkeit $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t >x\bigr)$ nicht von $x$ abhängt.
• Hieraus folgt, dass

  $$P\bigl(\{\sup_{t\ge 0}X_t =0\}\cup\{ \sup_{t\ge 0}X_t =\infty\}\bigr)=1\,.$$ (37)

  
  

• Weil der Wiener-Prozess $\{X_t\}$ unabhängige und stationäre Zuwächse hat, gilt
  

  $${P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)= P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t \le 0\... ...1} X_t \le 0\bigr) = P\bigl(X_1\le 0,\,\sup_{t\ge 1}\,(X_t-X_1) \le -X_1\bigr)}$$

  $$= \int_{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 1}(X_t-X_1) \le -x\bigr)\,P(X_... ...{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t \le -x\bigr)\,P(X_1\in{\rm d}x)\hspace{2cm}$$

  $${\stackrel{(\ref{equ.nul.inf})}{=}} \int_{-\infty}^0 P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)\,P(X_1\in{\rm d}x) = P(X_1\le 0)\;P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)$$

  $$= \frac{1}{2}\;P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)\,,$$

  
  
  wobei sich die dritte Gleichheit aus der Invarianz-Eigenschaft von $\{X_t\}$ bezüglich der Verschiebung des Nullpunktes ergibt; vgl. die Formel (32).
• Hieraus folgt, dass $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =0\bigr)=0$ und somit $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t =\infty\bigr)=1$.
• Die Gültigkeit von $P\bigl(\inf_{t\ge 0}X_t=-\infty\bigr)=1$ ergibt sich auf analoge Weise.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Die Aussage von Korollar 2.5 ist äquivalent mit $P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t=\infty,\;\inf_{t\ge 0}X_t=-\infty\bigr)=1$.
• Hieraus folgt insbesondere, dass fast alle Pfade des Wiener-Prozesses $\{X_t,\,t\ge 0\}$ in dem unbeschränkten Intervall $[0,\infty)$ unendlich oft zwischen positiven und negativen Werten oszillieren.
• Wir zeigen nun, dass die Pfade des Wiener-Prozesses $\{X_t\}$
  • auch in beschränkten Intervallen ,,wild'' oszillieren,
  • denn es stellt sich heraus, dass sie zwar stetige, jedoch mit Wahrscheinlichkeit $1$ nirgendwo differenzierbare Funktionen sind.

Theorem 2.25   $\;$ Sei $\{X_t,\,\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt

$$P(\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\; \mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[0,\infty)$} \,)=1\,.$$ (38)

Beweis

 

• Wegen der Identität
  

  $${\bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;\mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[0,\infty)$}\}}$$

  $$= \bigcap_{i\ge 0}\bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\; \mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[i,i+1]$} \}$$

  
  
  genügt es zu zeigen, dass $P(\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$ist nirgendwo differenzierbar in $[0,1]$$\,)=1$ bzw., äquivalent hierzu, dass

  $$P(\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\; \mbox{ist differenzierbar für ein $t_0=t_0(\omega)\in[0,1]$} \,)=0\,.$$ (39)

  
  

• Um die Gültigkeit von (39) zu beweisen, setzen wir für beliebige natürliche Zahlen $n,m\ge 1$
  $$A_{nm}=\bigl\{\omega\in\Omega:\;$$$$\mbox{es gibt ein $t_0=t_0(\omega)\in[0,1]$\ mit}$$$$\; \vert X_{t_0(\omega)+h}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega)\vert\le mh,\,\forall\,h\in[0,4/n]\bigr\}\,.$$
  • Dann gilt
    $$\bigl\{\omega\in\Omega:\, X_{\bf\cdot}(\omega)\;$$$$\mbox{ist differenzierbar für ein $t_0=t_0(\omega)$}$$$$\bigr\}\subset\bigcup_{m\ge 1}\bigcup_{n\ge 1} A_{nm}\,,$$

  • und es genügt somit zu zeigen, dass

    $$P(A_{nm})=0\qquad\forall\,n,m\ge 1\,.$$ (40)

    
    

• Sei $k_0(\omega)=\min\bigl\{k\in\{0,1,\ldots\}:\,k/n\ge t_0(\omega)\bigr\}$. Dann gilt für jedes $\omega\in A_{nm}$ und für $j=0,1,2$
  

  $${\bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j+1)/n}(\omega)-X_{(k_0(\omega)+j)/n}(\omega)\bigr\vert}$$

  $$\le \bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j+1)/n}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega... ...ert +\bigl\vert X_{(k_0(\omega)+j)/n}(\omega)-X_{t_0(\omega)}(\omega)\bigr\vert$$

  $$\le \frac{8m}{n}$$

  
  

• Mit der Schreibweise $\Delta_n(k)=X_{(k+1)/n}-X_{k/n}$ gilt also
  $$A_{nm}\subset\bigcup_{k=0}^n\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}$$
  und somit
  

  $$P(A_{nm}) \le P\Bigl(\bigcup_{k=0}^n\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}\Bigr)$$

  $$\le \sum_{k=0}^n P\Bigl(\bigcap_{j=0}^2\,\bigl\{\vert\Delta_n(k+j)\vert\le \frac{8m}{n}\bigr\}\Bigr)$$

  $$= (n+1) P\Bigl(\vert\Delta_n(0)\vert\le \frac{8m}{n}\Bigr)^3$$

  $$\le (n+1)\Bigl(\frac{16\, m}{\sqrt{2\pi n}}\Bigr)^3\longrightarrow 0\qquad\mbox{für $n\to\infty$}\,.$$

  
  

• Weil $A_{nm}\subset A_{n+1,m}$ für jedes $n\ge 1$, ergibt sich hieraus die Gültigkeit von (40).
  
  $\Box$

Korollar 2.6   $\;$ Mit Wahrscheinlichkeit $1$ gilt

$$P\bigl(\sup_{n\ge 1}\; \sup_{0\le t_0<\ldots<t_n\le 1 }\;\sum_{i=1}^n\vert X_{t_i}-X_{t_{i-1}}\vert=\infty\bigr)=1\,,$$ (41)

d.h., fast alle Trajektorien des Wiener-Prozesses $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ sind Funktionen mit unbeschränkter Variation.

Beweis

$\;$ Weil jede stetige Funktion $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ mit beschränkter Variation fast überall differenzierbar ist, ergibt sich die Behauptung unmittelbar aus Theorem 2.25.

$\Box$

Beachte

 

• Ein direkter Beweis von Korollar 2.6 kann wie folgt geführt werden: Es genügt zu zeigen, dass mit Wahrscheinlichkeit $1$

  $$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{2^n} \bigl\vert X_{i t/2^n} - X_{(i-1)t/2^n}\bigr\vert=\infty\qquad\forall\,t\in(0,1]\,.$$ (42)

  
  

• Um (42) zu beweisen, setzen wir
  $$Z_n=\sum_{i=1}^{2^n} \bigl( X_{i t/2^n} - X_{(i-1)t/2^n}\bigr)^2-t\,.$$

• Dann gilt ${\mathbb{E}\,}Z_n=0$, und außerdem kann man leicht zeigen, dass ${\mathbb{E}\,}(Z_n^2)=t^2 2^{-n+1}$.
• Aus der Tschebyschew-Ungleichung (vgl. Abschnitt WR-4.4.3) ergibt sich, dass für jedes $\varepsilon>0$
  $$P(\vert Z_n\vert\ge\varepsilon)\le\varepsilon^{-2}{\mathbb{E}\,}(Z_n^2)=(t/\varepsilon)^2 2^{-n+1}$$
  und somit $\sum_{n=1}^\infty P(\vert Z_n\vert\ge\varepsilon)<\infty$.
• Aus dem Lemma von Borel-Cantelli (vgl. Korollar WR-2.3) ergibt sich nun, dass $\lim_{n\to\infty}Z_n=0$ mit Wahrscheinlichkeit $1$.
• Hieraus folgt, dass mit Wahrscheinlichkeit $1$
  $$0<t\le \liminf_{n\to\infty}\max_{1\le k\le 2^n} \bigl\vert X_{k t... ...r\vert\;\sum_{i=1}^{2^n} \bigl\vert X_{i t/2^n} - X_{(i-1)t/2^n}\bigr\vert \,.$$

• Damit ist die Gültigkeit von (42) bewiesen, weil der Wiener-Prozess $\{X_t\}$ stetige Trajektorien hat und weil deshalb
  $$\lim_{n\to\infty}\max_{1\le k\le 2^n} \bigl\vert X_{k t/2^n} - X_{(k-1)t/2^n}\bigr\vert= 0\,.$$