Verteilung des Maximums

In diesem Abschnitt setzen wir die Diskussion von Eigenschaften des Wiener-Prozesses fort, die mit relativ elementaren Hilfsmitteln gezeigt werden können. Dabei leiten wir zunächst eine obere Schranke für die Tailfunktion des Maximums $\max_{t\in[0,1]} X_t$ von Wiener-Prozessen in $[0,1]$ her.

Später zeigen wir in Kapitel 3 mit den Techniken von Martingalen bzw. Lévy-Prozessen, dass diese Schranke ,,optimal'' ist, d.h., mit der Tailfunktion von $\max_{t\in[0,1]} X_t$ übereinstimmt.

Theorem 2.23   $\;$

• Sei $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ ein Wiener-Prozess über einem gewissen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$.
• Dann gilt

  $$P\bigl(\max_{t\in[0,1]} X_t > x\bigr) \le\; \sqrt{\frac{2}{\pi }}\;\int_x^\infty\,{\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y\qquad\forall \, x\ge 0\,.$$ (23)

  
  

Beachte

 

• Die in (23) betrachtete Abbildung $\max_{t\in[0,1]} X_t:\Omega\to[0,\infty)$ ist eine wohldefinierte Zufallsvariable, weil die Trajektorien von $\{X_t\}$ stetige Funktionen sind und somit

  $$\bigl(\max_{t\in[0,1]} X_t\bigr)(\omega)=\lim_{k\to\infty}\;\bigl(\max_{i=1,\ldots,k}X_{i/k}\bigr)(\omega) \qquad\forall\,\omega\in\Omega\,.$$ (24)

  
  

• Aus (23) folgt, dass die Zufallsvariable $\max_{t\in[0,1]} X_t$ einen exponentiell beschränkten Tail hat. Hieraus ergibt sich insbesondere, dass sämtliche Momente von $\max_{t\in[0,1]} X_t$ existieren (und endlich sind).
• Im Beweis von Theorem 2.23 benötigen wir Bezeichnungen und Hilfsmittel, die teilweise bereits in der Vorlesung ,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' bereitgestellt wurden.
  • Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess, und sei $Z_1,Z_2,\ldots$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit $P(Z_i=1)=P(Z_i=-1)=1/2$ für jedes $i\ge 1$.
  • Außerdem betrachten wir für jedes $n\ge 1$ den stochastischen Prozess $\{\widetilde X_t^{(n)},\,t\in[0,1]\}$ mit

    $$\widetilde X_t^{(n)}=S_{\lfloor nt\rfloor}/\sqrt{n}+(nt-\lfloor nt\rfloor)\,Z_{\lfloor nt\rfloor+1}/\sqrt{n}\,,$$ (25)

    
    
    wobei $S_i=Z_1+\ldots+Z_i$ für jedes $i\ge 1$ und $\lfloor t\rfloor$ den ganzzahligen Teil von $t\ge 0$ bezeichnet; $S_0=0$.
• Das folgende Lemma zeigt, dass $\{\widetilde X_t^{(n)}\}$ als Approximation des Wiener-Prozesses $\{X_t\}$ aufgefasst werden kann.
  • Allerdings konvergiert der in (25) gegebene Prozess $\{\widetilde X_t^{(n)}\}$ nur ,,in Verteilung'' für $n\to\infty$ gegen $\{X_t\}$,
  • während die in Abschnitt 2.4.3 betrachtete Approximation $\{X_t^{(n)}\}$ mit $X^{(n)}_t=\sum_{k=1}^n Y_k\; S_k(t)$ ,,pfadweise'' für $n\to\infty$ gegen den Wiener-Prozess $\{X_t\}$ konvergiert.

Lemma 2.9   $\;$ Für jedes $k\ge 1$ und für beliebige $t_1,\ldots,t_k\in[0,1]$ gilt

$$\bigl(\widetilde X^{(n)}_{t_1},\ldots,\widetilde X^{(n)}_{t_k}\bigr)\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow} \bigl(X_{t_1},\ldots,X_{t_k}\bigr) \mbox{für $n\to\infty$.}$$ (26)

Beweis

 

• Wir zeigen die Behauptung nur für den Spezialfall $k=2$; für beliebige $k\ge 2$ verläuft der Beweis analog. Außerdem nehmen wir o.B.d.A. an, dass $t_1<t_2$.
• Dann gilt für beliebige $s_1,s_2\in\mathbb{R}$, dass
  

  $$s_1 \widetilde X^{(n)}_{t_1}+ s_2 \widetilde X^{(n)}_{t_2} = (s_1+s_2)S_{\lfloor nt_1\rfloor}/\sqrt{n} +s_2\bigl(S_{\lfloor nt_2\rfloor}- S_{\lfloor nt_1\rfloor+1}\bigr)/\sqrt{n}$$

  $$+Z_{\lfloor nt_1\rfloor+1}\bigl((nt_1-{\lfloor nt_1\rfloor})s_1/\... ...qrt{n}\bigr)+Z_{\lfloor nt_2\rfloor+1}(nt_2-\lfloor nt_2\rfloor)s_2/\sqrt{n}\,,$$

  
  
  • wobei die vier Summanden auf der rechten Seite der letzten Gleichheit unabhängige Zufallsvariablen sind,
  • so dass die letzten beiden Summanden jeweils (in Verteilung) gegen Null konvergieren.
• Aus der Charakterisierung der Verteilungskonvergenz mittels charakteristischer Funktionen (siehe Theorem WR-5.20) ergibt sich somit, dass die charakteristischen Funktionen der beiden letzten Summanden punktweise gegen $1$ konvergieren.
• Insgesamt gilt also
  $$\lim_{n\to\infty} {\mathbb{E}\,}\,{\rm e}^{{\rm i}(s_1 \widetilde... ...;\bigl(\varphi(s_2/\sqrt{n})\bigr)^{\lfloor nt_2\rfloor-\lfloor nt_1\rfloor-1}$$
  wobei $\varphi(s)={\mathbb{E}\,}\exp({\rm i} sZ_1)$ für $s\in\mathbb{R}$.
• Weil $\varphi^n(s/\sqrt{n})$ die charakteristische Funktion der Zufallsvariablen $(Z_1+\ldots+Z_n)/\sqrt{n}$ ist,
  • ergibt sich aus dem zentralen Grenzwertsatz, dass
    $$\lim_{n\to\infty} \varphi^n(s/\sqrt{n})=\,{\rm e}^{-s^2/2}$$

  • und somit
    

    $$\lim_{n\to\infty} {\mathbb{E}\,}\,{\rm e}^{{\rm i}(s_1 \widetilde X^{(n)}_{t_1}+ s_2 \widetilde X^{(n)}_{t_2})} = \exp\bigl(-((s_1+s_2)^2t_1+s_2^2(t_2-t_1))/2\bigr)$$

    $$= \exp\bigl(-(s_1^2 t_1+2s_1s_2\min\{t_1,t_2\}+s_2^2t_2)/2\bigr)\,.$$

    
    

• Weil der letzte Ausdruck die charakteristische Funktion des Zufallsvektors $(X_{t_1},X_{t_2})$ ist, ergibt sich nun die Behauptung
  • durch die erneute Anwendung der Charakterisierung der Verteilungskonvergenz mittels charakteristischer Funktionen
  • und aus dem eineindeutigen Zusammenhang zwischen charakteristischer Funktion und Verteilung (vgl. Korollar WR-5.5 für den eindimensionalen Fall).
    
    $\Box$

Lemma 2.10   $\;$ Sei $\widetilde X^{(n)}=\max_{t\in[0,1]}\,\widetilde X_t^{(n)}$. Dann gilt

$$\widetilde X^{(n)}=\;\frac{1}{\sqrt{n}}\;\max_{k=1,\ldots,n}\,S_k\qquad\forall\, n= 1,2,\ldots$$ (27)

und

$$\lim_{n\to\infty} P(\widetilde X^{(n)}\le x)=\; \sqrt{\frac{2}{\pi }}\;\int_0^x\,{\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y\qquad\forall \, x\ge 0\,.$$ (28)

Beweis

 

• Die Gleichung (27) folgt unmittelbar aus der in (25) gegebenen Definition von $\widetilde X_t^{(n)}$.
• Die Gleichung (28) beruht auf dem sogenannten
  • Reflexionsprinzip der maximalen Gewinnsume bei $n$-maligem Münzwurf
  • und wurde bereits in Abschnitt WR-5.3.2 hergeleitet (vgl. Formel (68) in Abschnitt WR-5.3.2).
    
    $\Box$

Beweis von Theorem 2.23

 

• Aus Lemma 2.9 ergibt sich, dass für beliebige $x\ge 0$, $k\ge 1$ und $t_1,\ldots,t_k\in[0,1]$
  $$\lim_{n\to\infty}\,P(\max_{t\in\{t_1,\ldots,t_k\}} \widetilde X^{(n)}_t> x)=P(\max_{t\in\{t_1,\ldots,t_k\}} X_t> x)\,.$$

• Hieraus folgt, dass
  $$\lim_{n\to\infty}\,P(\max_{t\in[0,1]} \widetilde X^{(n)}_t> x)\ge P(\max_{t\in\{t_1,\ldots,t_k\}} X_t> x)\,.$$

• Mit $\{t_1,\ldots,t_k\}=\{1/k,2/k,\ldots,k/k\}$ ergibt sich nun unter Beachtung von (24), dass
  $$\lim_{n\to\infty}\,P(\max_{t\in[0,1]} \widetilde X^{(n)}_t> x)\ge P(\max_{t\in[0,1]} X_t> x)\,.$$

• Wegen Lemma 2.10 ist damit die Ungleichung (23) bewiesen.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess über $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Dabei setzen wir (wie stets in diesem Skript) voraus, dass $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum ist, d.h.,

• dass sämtliche ,,Nullmengen'' des Wahrscheinlichkeitsraumes $(\Omega,\mathcal{F},P)$, über dem der Wiener-Prozess $\{X_t\}$ gegeben ist, zu $\mathcal{F}$ gehören, bzw. (äquivalent hierzu)
• für $C\subset\Omega$ gilt $C\in\mathcal{F}$, falls es Teilmengen $A,B\in\mathcal{F}$ gibt, so dass $A\subset C\subset B$ und $P(B\setminus A)=0$.

Aus Theorem 2.23 ergibt sich nun die folgende asymptotische Eigenschaft des Wiener-Prrozesses.

Korollar 2.4   Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt mit Wahrscheinlichkeit $1$

$$\lim_{t\to\infty}\;\frac{X_t}{t}\;=0\,.$$ (29)

Beweis

 

• Für beliebige $n=1,2,\ldots$ und $t\in[n,n+1)$ gilt
  

  $$\Bigl\vert\,\frac{X_t}{t}\;-\;\frac{X_n}{n}\,\Bigr\vert \le \Bigl\vert\,\frac{X_t}{t}\;-\;\frac{X_n}{t}\,\Bigr\vert+ \Bigl\vert\,\frac{X_n}{t}\;-\;\frac{X_n}{n}\,\Bigr\vert$$

  $$\le \vert X_n\vert\,\Bigl\vert\,\frac{1}{t}\;-\;\frac{1}{n}\,\Bigr\vert+ \;\frac{1}{n}\;\sup_{t\in[n,n+1]}\;\vert X_t-X_n\vert$$

  $$\le \;\frac{\vert X_n\vert}{n^2}\;+\;\frac{Z_n}{n}\;,$$

  
  
  wobei $Z_n=\sup_{t\in[0,1]}\,\vert X_{n+t}-X_n\vert$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen sind; $n\ge 0$.
• Hieraus und aus der Vollständigkeit des Wahrscheinlichkeitsraumes $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ergibt sich,
  • dass $\lim_{t\to\infty}\,X_t/t$ eine wohldefinierte Zufallsvariable mit der Eigenschaft (29) ist,
  • wenn wir zeigen, dass mit Wahrscheinlichkeit $1$

    $$\lim_{n\to\infty}\;\frac{\vert X_n\vert}{n^2}\;=0 \qquad \lim_{n\to\infty}\;\frac{Z_n}{n}\;=0\,.$$ (30)

    
    

• Die erste Nullkonvergenz in (30) ergibt sich unmittelbar aus dem starken Gesetz der großen Zahlen für Summen unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen, denn es gilt
  $$\frac{\vert X_n\vert}{n}\;=\;\Bigl\vert\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-X_{i-1})}{n}\Bigr\vert\longrightarrow \vert{\mathbb{E}\,}X_1\vert=0$$
  und somit auch $\vert X_n\vert/n^2\to 0$ für $n\to\infty$.
• Um auch die Gültigkeit der zweiten Nullkonvergenz in (30) mit dem starken Gesetz der großen Zahlen begründen zu können, muss noch gezeigt werden, dass ${\mathbb{E}\,} Z_1<\infty$.
  • Man kann sich leicht überlegen, dass $\{-X_t,\,t\ge 0\}$ ebenfalls ein Wiener-Prozess ist (vgl. auch Theorem 2.24). Deshalb gilt
    $$P(Z_1>x) \le P\bigl(\max_{t\in[0,1]} X_t > x\bigr)+ P\bigl(\max_{t\in[0,1]} (-X_t)> x\bigr)=2\, P\bigl(\max_{t\in[0,1]} X_t> x\bigr)\,.$$

  • Mit Hilfe von (23) ergibt sich somit, dass
    $$P(Z_1>x)\le 2\; \sqrt{\frac{2}{\pi }}\;\int_x^\infty\,{\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y\qquad\forall \, x\ge 0\,.$$

  • Hieraus folgt, dass ${\mathbb{E}\,}Z_1=\int_0^\infty P(Z_1>x)\,{\rm d}x <\infty$.
    
    $\Box$