Unbegrenzte Teilbarkeit

Wir zeigen zunächst, dass für jeden Lévy-Prozess $\{X_t\}$ und für jedes $t\ge 0$ die Zufallsvariable $X_t$ unbegrenzt teilbar ist, und geben dann in Abschnitt 3.1.2 eine Darstellungsformel für die charakteristische Funktion von $X_t$ an.

Definition

$\;$ Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable über einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Man sagt, dass $X$ bzw. die Verteilung $P_X$ von $X$ unbegrenzt teilbar ist, wenn es für jedes $n\ge 1$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen $Y_1^{(n)},\ldots,Y_n^{(n)}:\Omega\to\mathbb{R}$ gibt mit $X\stackrel{{\rm d}}{=} Y_1^{(n)}+\ldots+Y_n^{(n)}$.

Theorem 3.1   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann ist die Zufallsvariable $X_t$ für jedes $t\ge 0$ unbegrenzt teilbar.

Beweis

 

• Für beliebige $t\ge 0$ und $n\ge 1$ gilt offenbar, dass
  $$X_t=X_{t/n}+(X_{2t/n}-X_{t/n})+\ldots+(X_{nt/n}-X_{(n-1)t/n})\,.$$

• Weil $\{X_t\}$ unabhängige und stationäre Zuwächse hat, sind die Summanden auf der rechten Seite der letzten Gleichheit unabhängige und identische verteilte Zufallsvariablen.
  
  $\Box$

Das folgende Lemma enthält ein einfaches (jedoch nützliches) Hilfsmittel zur Untersuchung von unbegrenzt teilbaren Zufallsvariablen.

Lemma 3.1   $\;$ Die Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ ist genau dann unbegrenzt teilbar, wenn sich die charakteristische Funktion $\varphi_X$ von $X$ für jedes $n\ge 1$ darstellen lässt in der Form

$$\varphi_X(s)=\bigl(\varphi_n(s)\bigr)^n\qquad\forall \, s\in\mathbb{R}\,,$$ (1)

wobei $\varphi_n$ die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen ist.

Beweis

 

• Die Notwendigkeit der Bedingung (1) ergibt sich unmittelbar
  • aus der Definition der unbegrenzten Teilbarkeit und aus der Tatsache, dass
  • die charakteristische Funktion der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen gleich dem Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. Theorem WR-5.18).
• Es gelte nun umgekehrt (1), und $Y_1^{(n)},\ldots,Y_n^{(n)}$ seien unabhängige Zufallsvariablen mit der charakteristischen Funktion $\varphi_n$.
  • Dann ergibt sich durch die erneute Anwendung von Theorem WR-5.18, dass $\bigl(\varphi_n(s)\bigr)^n$ die charakteristische Funktion der Summe $Y_1^{(n)}+\ldots+Y_n^{(n)}$ ist.
  • Wegen (1) stimmen also die charakteristischen Funktionen von $X$ und $Y_1^{(n)}+\ldots+Y_n^{(n)}$ überein.
  • Aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen (vgl. Korollar WR-5.5) ergibt sich nun, dass auch die Verteilungen von $X$ und $Y_1^{(n)}+\ldots+Y_n^{(n)}$ übereinstimen.
    
    $\Box$

Wir benötigen noch einen Stetigkeitssatz für charakteristische Funktionen, der eine (teilweise) Verschärfung von Theorem WR-5.20 ist und den wir hier ohne Beweis angeben.

Lemma 3.2    

• Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Folge von Zufallsvariablen, und seien $\varphi_{X_1},\varphi_{X_2},\ldots:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ ihre charakteristischen Funktionen.
• Falls es eine Funktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ gibt, so dass $\varphi(s)$ stetig im Punkt $s=0$ ist und $\lim_{n\to\infty}\varphi_n(s)=\varphi(s)$ für jedes $s\in\mathbb{R}$ gilt,
  • dann ist $\varphi$ die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen $X$,
  • und es gilt $X_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}X$.

Außerdem spielt der Begriff des Lévy-Maßes eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von unbegrenzt teilbaren Verteilungen.

Definition

$\;$ Sei $\nu$ ein Maß über dem Messraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$. Man sagt, dass $\nu$ ein Lévy-Maß ist, wenn $\nu(\{0\})=0$ und

$$\int_\mathbb{R}\min\{y^2,1\}\,\nu({\rm d}y)<\infty\,.$$ (2)

Beachte

 

• Man kann sich leicht überlegen, dass jedes Lévy-Maß $\nu$ ein $\sigma$-endliches Maß ist und dass

  $$\nu((-\varepsilon,\varepsilon)^c)<\infty\qquad\forall\,\varepsilon>0\,,$$ (3)

  
  
  wobei $(-\varepsilon,\varepsilon)^c=\mathbb{R}\setminus(-\varepsilon,\varepsilon)$.
• Insbesondere ist jedes endliche Maß $\nu$ über $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ein Lévy-Maß, falls $\nu(\{0\})=0$.
• Eine zu (2) äquivalente Bedingung ist

  $$\int_\mathbb{R}\;\frac{y^2}{1+y^2}\;\nu({\rm d}y)<\infty\,,$$ (4)

  
  
  denn es gilt
  $$\frac{y^2}{1+y^2} \le \min\{y^2,1\} \le2\;\frac{y^2}{1+y^2}\qquad\forall\,y\in\mathbb{R}\,.$$

Der folgende Ansatz zur Konstruktion charakteristischer Funktionen von unbegrenzt teilbaren Verteilungen wird in der Literatur die Lévy-Chintschin-Formel genannt.

Theorem 3.2   $\;$ Seien $a\in\mathbb{R}$ und $b\ge 0$ beliebige Konstanten, und sei $\nu$ ein beliebiges Lévy-Maß. Dann ist durch die Funktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit

$$\varphi(s)=\exp\Bigl({\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_\mathbb{R}... ...m}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr) \qquad\forall\,s\in\mathbb{R}$$ (5)

die charakteristische Funktion einer unbegrenzt teilbaren Zufallsvariablen gegeben.

Beweis

 

• Weil es für jedes $s\in\mathbb{R}$ eine Konstante $c<\infty$ gibt, so dass

  $$\vert{\rm e}^{{\rm i}sy}-1-{\rm i}sy\vert\le c y^2\qquad\forall\,y\in (-1,1)\,,$$ (6)

  
  
  folgt aus (2) und (3), dass die in (5) gegebene Funktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ wohldefiniert ist.
• Sei nun $\{c_n\}$ eine beliebige Zahlenfolge mit $c_n>c_{n+1}>0$ und $\lim_{n\to\infty}c_n=0$.
  • Dann ist die Funktion $\varphi_n:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit
    

    $$\varphi_n(s) = \exp\Bigl({\rm i}s\bigl(a-\int_{[-c_n,c_n]^c\cap(-1,1)}y\,\nu({\r... ...{2}\;+\int_{[-c_n,c_n]^c}\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)$$

    $$= \exp\Bigl({\rm i}s\bigl(a-\int_{[-c_n,c_n]^c\cap(-1,1)}y\,\nu({\r... ...\Bigl(\int_{[-c_n,c_n]^c}\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)$$ (7)

    
    
    die charakteristische Funktion der Summe $Z^{(n)}_1+Z^{(n)}_2$ von zwei unabhängigen Zufallsvariablen $Z^{(n)}_1$ und $Z^{(n)}_2$,
  • denn der erste Faktor in (7) ist die charakteristische Funktion der Normalverteilung mit Erwartungswert $a-\int_{[-c_n,c_n]^c\cap(-1,1)}y\,\nu({\rm d}y)$ und Varianz $b$,
  • während der zweite Faktor in (7) die charakteristische Funktion der zusammengesetzten Poisson-Verteilung mit den Charakteristiken $\lambda=\nu([-c_n,c_n]^c)$ und $P_U= \nu(\cdot\cap[-c_n,c_n]^c)/\nu([-c_n,c_n]^c)$ ist; vgl. die Teilaussage (b) von Theorem 2.10.
• Außerdem gilt
  $$\lim_{n\to\infty} \varphi_n(s)= \varphi(s)\qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,,$$
  wobei man sich leicht überlegen kann, dass die in (5) gegebene Funktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ stetig im Punkt $s=0$ ist.
  • Denn für die Funktion $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ im Exponent von (5) mit
    $$\psi(s)=\int_\mathbb{R}\;\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1-{\rm i}sy{1\... ...ce{-1mm}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y) \qquad\forall\,s\in\mathbb{R}$$
    gilt wegen (6), dass
    $$\vert\psi(s)\vert\le c \int_{(-1,1)} y^2\,\nu(dy)+\int_{(-1,1)^c}\bigl\vert{\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr\vert\,\nu({\rm d}y).$$

  • Hieraus und aus (3) folgt nun mit Hilfe des Satzes von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz, dass $\lim_{s\to 0}\psi(s)=0$.
• Aus Lemma 3.2 ergibt sich somit, dass die in (5) gegebene Funktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen ist.
• Die unbegrenzte Teilbarkeit dieser Zufallsvariablen folgt schließlich aus Lemma 3.1 und aus der Tatsache, dass für jedes $n\ge 1$ mit $\nu$ auch $\nu(\cdot)/n$ ein Lévy-Maß ist und dass
  $$\varphi(s)=\Bigl(\exp\Bigl({\rm i}\;\frac{a}{n}\;s-\;\frac{\frac{... ...1)}(y)\bigr)\,(\nu/n)({\rm d}y)\Bigr)\Bigr)^n \qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Beachte

$\;$

• Das Tripel $(a,b,\nu)$, das in der Lévy-Chintschin-Formel (5) auftritt, wird Lévy-Charakteristik der zugehörigen unbegrenzt teilbaren Verteilung genannt.
• Die Abbildung $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit

  $$\eta(s)={\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_\mathbb{R}\;\bigl({\rm ... ...ce{-1mm}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y) \qquad\forall\,s\in\mathbb{R}$$ (8)

  
  
  im Exponent von (5) heißt Lévy-Exponent dieser unbegrenzt teilbaren Verteilung.