Lévy-Prozesse

In Abschnitt 2.2.2 hatten wir zusammengesetzte Poisson-Prozesse betrachtet und gezeigt, dass sie unabhängige und stationäre Zuwächse besitzen (vgl. Theorem 2.10). Der Wiener-Prozess besitzt ebenfalls diese beiden Eigenschaften, was sich unmittelbar aus seiner Definition ergibt (vgl. Abschnitt 2.4).

Wir betrachten nun eine allgemeine Klasse von stochastischen Prozessen mit unabhängigen und stationären Zuwächsen, die sowohl zusammengesetzte Poisson-Prozesse als auch den Wiener-Prozess als Spezialfälle umfasst.

Definition

$\;$ Ein stochastischer Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ über einem (im allgemeinen nicht näher spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ heißt Lévy-Prozess, wenn

• $X_0=0$,
• $\{X_t\}$ unabhängige und stationäre Zuwächse hat,
• $\{X_t\}$ stochastisch stetig ist, d.h., für beliebige $\varepsilon>0$ und $t_0\ge 0$ gilt $\lim_{t\to t_0} P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>\varepsilon)=0$.

Beachte

 

• Man kann sich leicht überlegen, dass für zusammengesetzte Poisson-Prozesse die dritte Bedingung ebenfalls erfüllt ist. Denn es gilt dann für jedes $\varepsilon>0$ und für $t\to t_0$
  $$P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>\varepsilon)\le P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>0) \le 1-{\rm e}^{-\lambda\vert t-t_0\vert}\longrightarrow 0\,,$$
  wobei $\lambda>0$ die Intensität der Sprungzeitpunkte bezeichnet.
• Darüber hinaus gilt auch im Fall des Wiener-Prozesses für jedes $\varepsilon>0$ und für $t\to t_0$
  $$P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>\varepsilon) = \sqrt{\frac{2}{\pi \vert ... ...\sqrt{\vert t-t_0\vert}}^\infty {\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y\longrightarrow 0\,.$$