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Gleichgradige Integrierbarkeit
Sei
eine endliche Stoppzeit, und der stochastische Prozess
sei c�dl�g mit
f�r jedes
. In Korollar 3.2 hatten wir gezeigt, dass
dann
eine wohldefinierte Zufallsvariable ist.
Zur Herleitung von Bedingungen, so dass auch
gilt, ben�tigen wir den Begriff der gleichgradigen
Integrierbarkeit von Zufallsvariablen.
Hierf�r benutzen wir die folgende Schreibweise: Sei
eine beliebige Zufallsvariable mit
. F�r jedes
setzen wir dann
.
- Definition
Die Folge
von
Zufallsvariablen hei�t gleichgradig integrierbar, wenn
f�r jedes
und
![$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(\sup_{n\ge 1} {\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert; \vert X_n\vert>x]\bigr)=0\,.$](img1721.png) |
(14) |
- Beweis
- Wir zeigen zuerst, dass (14) gilt, wenn die
Bedingungen (i) und (ii) erf�llt sind.
- Sei nun
gleichgradig integrierbar.
Die Bedeutung der gleichgradigen Integrierbarkeit f�r die
Konvergenz von Zufallsvariablen wird durch das folgende Lemma
deutlich.
Lemma 3.7
Sei

eine beliebige Folge von
Zufallsvariablen mit

f�r jedes

und

mit Wahrscheinlichkeit

f�r eine
gewisse Zufallsvariable

. Dann sind die beiden
folgenden Aussagen �quivalent:
(a)

ist gleichgradig integrierbar.
(b)
Es gilt

und

.
- Beweis
Korollar 3.3
Sei

eine Folge von Zufallsvariablen,
so dass

f�r jedes

und

mit Wahrscheinlichkeit

. Wenn

gleichgradig integrierbar ist, dann gilt

und

.
- Beweis
Wegen
ergibt
sich die Behauptung unmittelbar aus Lemma 3.7.
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Ursa Pantle
2005-07-13