Gleichgradige Integrierbarkeit

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Gleichgradige Integrierbarkeit

Sei eine endliche Stoppzeit, und der stochastische Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei c�dl�g mit ${\mathbb{E}\,} \vert X_t\vert<\infty$ f�r jedes $t\in\mathbb{R}$ . In Korollar 3.2 hatten wir gezeigt, dass dann eine wohldefinierte Zufallsvariable ist.

Zur Herleitung von Bedingungen, so dass auch ${\mathbb{E}\,}\vert X_T\vert<\infty$ gilt, ben�tigen wir den Begriff der gleichgradigen Integrierbarkeit von Zufallsvariablen.

Hierf�r benutzen wir die folgende Schreibweise: Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ . F�r jedes $A\in\mathcal{F}$ setzen wir dann ${\mathbb{E}\,}[X;A]={\mathbb{E}\,}(X{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A))$ .

Definition

$\;$ Die Folge $X_1,X_2,\ldots:\Omega:\to\mathbb{R}$ von Zufallsvariablen hei�t gleichgradig integrierbar, wenn ${\mathbb{E}\,} \vert X_n\vert <\infty$ f�r jedes $n\ge 1$ und

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(\sup_{n\ge 1} {\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert; \vert X_n\vert>x]\bigr)=0\,.$

(14)

Lemma 3.6 Die Folge $\{X_n,\,n\ge 1\}$ ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn

(i): $\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\infty$ und
(ii): wenn es f�r jedes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt, so dass ${\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;A]<\varepsilon$ f�r jedes $n\ge 1$ und f�r jedes $A\in\mathcal{F}$ mit $P(A)<\delta$ .

Beweis

$\;$

Wir zeigen zuerst, dass (14) gilt, wenn die Bedingungen (i) und (ii) erf�llt sind.
- Offenbar gilt $x P(\vert X_n\vert>x)\le{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert$ f�r beliebige $n\ge 1$ und . Hieraus und aus (i) folgt, dass f�r jedes $\delta>0$ und f�r jedes hinreichend gro�e
  
  $\displaystyle \sup_{n\ge 1} P(\vert X_n\vert>x)\le \frac{1}{x}\;\sup_{n\ge 1 }{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\delta\,.$
- Wegen (ii) gilt somit $\limsup_{x\to\infty}\bigl(\sup_{n\ge 1} {\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert; \vert X_n\vert>x]\bigr)\le\varepsilon$ f�r jedes $\varepsilon>0$ .
- Hieraus ergibt sich die G�ltigkeit von (14), weil $\varepsilon>0$ beliebig klein gew�hlt werden kann.
Sei nun gleichgradig integrierbar.
- Dann gilt f�r jedes hinreichend gro�e
  
  $\displaystyle \sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert\le\sup_{n\ge 1}\bigl\{{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert; \vert X_n\vert>x]+x\bigr\}<\infty\,,$
  d.h., die Bedingung (i) ist erf�llt.
- F�r jedes $\varepsilon>0$ sei nun so gew�hlt, dass $\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;\vert X_n\vert>x]<\varepsilon/2$ .
- F�r jedes $\delta>0$ mit $\delta<\varepsilon/(2x)$ und f�r jedes $A\in\mathcal{F}$ mit $P(A)<\delta$ gilt dann
  
  $\displaystyle {\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;A]\le{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;\vert X_n\vert>x]+xP(A)\le\varepsilon\,,$
  d.h., die Bedingung (ii) ist ebenfalls erf�llt.
  
  $\Box$

Die Bedeutung der gleichgradigen Integrierbarkeit f�r die Konvergenz von Zufallsvariablen wird durch das folgende Lemma deutlich.

Lemma 3.7 Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Folge von Zufallsvariablen mit ${\mathbb{E}\,} \vert X_n\vert <\infty$ f�r jedes $n\ge 1$ und $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ mit Wahrscheinlichkeit

f�r eine gewisse Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ . Dann sind die beiden folgenden Aussagen �quivalent: (a) $\{X_n,\,n\ge 1\}$ ist gleichgradig integrierbar. (b) Es gilt ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ und $\lim_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert=0$ .

Beweis

$\;$

Sei gleichgradig integrierbar.
- Weil $\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\infty$ wegen Teilaussage (i) in Lemma 3.6 und weil $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ vorausgesetzt wird, ergibt sich aus dem Lemma von Fatou, dass ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ .
- Andererseits kann man sich leicht �berlegen (vgl. Korollar WR-5.1), dass aus der Konvergenz $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ mit Wahrscheinlichkeit folgt, dass f�r jedes $\varepsilon>0$
  
  $\displaystyle \lim_{n\to\infty}P(\vert X_n-X\vert>\varepsilon)=0\, .$ (15)
- Au�erdem gilt f�r jedes $\varepsilon>0$
  
  $\displaystyle {\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;\vert X_n-X\vert\le\varepsilon] +{\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon]$
  
  $\displaystyle \le$ $\displaystyle \varepsilon+{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon] +{\mathbb{E}\,}[\vert X\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon]\,.$
- Wegen (15) ergibt sich dann aus der Teilaussage (ii) in Lemma 3.6 mit $A=\{\vert X_n-X\vert>\varepsilon\}$ , dass der zweite Summand des letzten Ausdruckes gegen 0 strebt.
- Der ditte Summand konvergiert ebenfalls gegen 0, weil ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ .
- Hieraus folgt, dass $\lim_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert=0$ , weil $\varepsilon>0$ beliebig klein gew�hlt werden kann.
Wir nehmen nun umgekehrt an, dass (b) gilt.
- Dann gilt
  
  $\displaystyle \sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert\le\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert+{\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty\,.$ (16)
- F�r jedes $\varepsilon>0$ sei $n_0\ge 1$ so gew�hlt, dass f�r beliebige $n\ge n_0$ und $A\in\mathcal{F}$
  
  $\displaystyle {\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;A]\le{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert\le\;\frac{\varepsilon}{2}\,.$
- Sei nun $\delta>0$ so gew�hlt, dass $P(A)<\delta$ die G�ltigkeit der folgenden Ungleichung impliziert:
  
  $\displaystyle \max_{0\le n\le n_0}{\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;A]+{\mathbb{E}\,}[\vert X\vert;A]\le\frac{\varepsilon}{2}\;.$
- Hieraus folgt, dass es f�r jedes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt, so dass f�r jedes $A\in\mathcal{F}$ mit $P(A)<\delta$
  
  $\displaystyle \sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;A]\le \sup_{n\ge 1 }{\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;A]+{\mathbb{E}\,}[\vert X\vert;A]\le\varepsilon\,.$
Wegen Lemma 3.6 ergibt sich hieraus und aus (16), dass $\{X_n,n\ge 1\}$ gleichgradig integrierbar ist.

$\Box$

Korollar 3.3 Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von Zufallsvariablen, so dass ${\mathbb{E}\,} \vert X_n\vert <\infty$ f�r jedes $n\ge 1$ und $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ mit Wahrscheinlichkeit

. Wenn $\{X_n,n\ge 1\}$ gleichgradig integrierbar ist, dann gilt ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ und $\lim_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}X_n={\mathbb{E}\,}X$ .

Beweis: $\;$ Wegen $\vert{\mathbb{E}\,}X_n-{\mathbb{E}\,}X\vert\le{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert$ ergibt sich die Behauptung unmittelbar aus Lemma 3.7.

$\Box$

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Ursa Pantle 2005-07-13

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert$	$\displaystyle \le$	$\displaystyle {\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;\vert X_n-X\vert\le\varepsilon] +{\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon]$
	$\displaystyle \le$	$\displaystyle \varepsilon+{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon] +{\mathbb{E}\,}[\vert X\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon]\,.$