Gleichgradige Integrierbarkeit

Sei $T$ eine endliche Stoppzeit, und der stochastische Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei càdlàg mit ${\mathbb{E}\,} \vert X_t\vert<\infty$ für jedes $t\in\mathbb{R}$. In Korollar 3.2 hatten wir gezeigt, dass dann $X_T$ eine wohldefinierte Zufallsvariable ist.

Zur Herleitung von Bedingungen, so dass auch ${\mathbb{E}\,}\vert X_T\vert<\infty$ gilt, benötigen wir den Begriff der gleichgradigen Integrierbarkeit von Zufallsvariablen.

Hierfür benutzen wir die folgende Schreibweise: Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$. Für jedes $A\in\mathcal{F}$ setzen wir dann ${\mathbb{E}\,}[X;A]={\mathbb{E}\,}(X{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A))$.

Definition

$\;$ Die Folge $X_1,X_2,\ldots:\Omega:\to\mathbb{R}$ von Zufallsvariablen heißt gleichgradig integrierbar, wenn ${\mathbb{E}\,} \vert X_n\vert <\infty$ für jedes $n\ge 1$ und

$$\lim_{x\to\infty}\bigl(\sup_{n\ge 1} {\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert; \vert X_n\vert>x]\bigr)=0\,.$$ (14)

Lemma 3.6   Die Folge $\{X_n,\,n\ge 1\}$ ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn

(i)

$\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\infty$ und

(ii)

wenn es für jedes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt, so dass ${\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;A]<\varepsilon$ für jedes $n\ge 1$ und für jedes $A\in\mathcal{F}$ mit $P(A)<\delta$.

Beweis

$\;$

• Wir zeigen zuerst, dass (14) gilt, wenn die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt sind.
  • Offenbar gilt $x P(\vert X_n\vert>x)\le{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert$ für beliebige $n\ge 1$ und $x>0$. Hieraus und aus (i) folgt, dass für jedes $\delta>0$ und für jedes hinreichend große $x>0$
    $$\sup_{n\ge 1} P(\vert X_n\vert>x)\le \frac{1}{x}\;\sup_{n\ge 1 }{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\delta\,.$$

  • Wegen (ii) gilt somit $\limsup_{x\to\infty}\bigl(\sup_{n\ge 1} {\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert; \vert X_n\vert>x]\bigr)\le\varepsilon$ für jedes $\varepsilon>0$.
  • Hieraus ergibt sich die Gültigkeit von (14), weil $\varepsilon>0$ beliebig klein gewählt werden kann.
• Sei nun $\{X_n,\,n\ge 1\}$ gleichgradig integrierbar.
  • Dann gilt für jedes hinreichend große $x>0$
    $$\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert\le\sup_{n\ge 1}\bigl\{{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert; \vert X_n\vert>x]+x\bigr\}<\infty\,,$$
    d.h., die Bedingung (i) ist erfüllt.
  • Für jedes $\varepsilon>0$ sei nun $x>0$ so gewählt, dass $\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;\vert X_n\vert>x]<\varepsilon/2$.
  • Für jedes $\delta>0$ mit $\delta<\varepsilon/(2x)$ und für jedes $A\in\mathcal{F}$ mit $P(A)<\delta$ gilt dann
    $${\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;A]\le{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;\vert X_n\vert>x]+xP(A)\le\varepsilon\,,$$
    d.h., die Bedingung (ii) ist ebenfalls erfüllt.
    
    $\Box$

Die Bedeutung der gleichgradigen Integrierbarkeit für die Konvergenz von Zufallsvariablen wird durch das folgende Lemma deutlich.

Lemma 3.7   Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Folge von Zufallsvariablen mit ${\mathbb{E}\,} \vert X_n\vert <\infty$ für jedes $n\ge 1$ und $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ mit Wahrscheinlichkeit $1$ für eine gewisse Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent: (a) $\{X_n,\,n\ge 1\}$ ist gleichgradig integrierbar. (b) Es gilt ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ und $\lim_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert=0$.

Beweis

$\;$

• Sei $\{X_n,\,n\ge 1\}$ gleichgradig integrierbar.
  • Weil $\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\infty$ wegen Teilaussage (i) in Lemma 3.6 und weil $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ vorausgesetzt wird, ergibt sich aus dem Lemma von Fatou, dass ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$.
  • Andererseits kann man sich leicht überlegen (vgl. Korollar WR-5.1), dass aus der Konvergenz $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ mit Wahrscheinlichkeit $1$ folgt, dass für jedes $\varepsilon>0$

    $$\lim_{n\to\infty}P(\vert X_n-X\vert>\varepsilon)=0\, .$$ (15)

    
    

  • Außerdem gilt für jedes $\varepsilon>0$
    

    $${\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert \le {\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;\vert X_n-X\vert\le\varepsilon] +{\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon]$$

    $$\le \varepsilon+{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon] +{\mathbb{E}\,}[\vert X\vert;\vert X_n-X\vert>\varepsilon]\,.$$

    
    

  • Wegen (15) ergibt sich dann aus der Teilaussage (ii) in Lemma 3.6 mit $A=\{\vert X_n-X\vert>\varepsilon\}$, dass der zweite Summand des letzten Ausdruckes gegen 0 strebt.
  • Der ditte Summand konvergiert ebenfalls gegen 0, weil ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$.
  • Hieraus folgt, dass $\lim_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert=0$, weil $\varepsilon>0$ beliebig klein gewählt werden kann.
• Wir nehmen nun umgekehrt an, dass (b) gilt.
  • Dann gilt

    $$\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert\le\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert+{\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty\,.$$ (16)

    
    

  • Für jedes $\varepsilon>0$ sei $n_0\ge 1$ so gewählt, dass für beliebige $n\ge n_0$ und $A\in\mathcal{F}$
    $${\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;A]\le{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert\le\;\frac{\varepsilon}{2}\,.$$

  • Sei nun $\delta>0$ so gewählt, dass $P(A)<\delta$ die Gültigkeit der folgenden Ungleichung impliziert:
    $$\max_{0\le n\le n_0}{\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;A]+{\mathbb{E}\,}[\vert X\vert;A]\le\frac{\varepsilon}{2}\;.$$

  • Hieraus folgt, dass es für jedes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt, so dass für jedes $A\in\mathcal{F}$ mit $P(A)<\delta$
    $$\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}[\vert X_n\vert;A]\le \sup_{n\ge 1 }{\mathbb{E}\,}[\vert X_n-X\vert;A]+{\mathbb{E}\,}[\vert X\vert;A]\le\varepsilon\,.$$

• Wegen Lemma 3.6 ergibt sich hieraus und aus (16), dass $\{X_n,n\ge 1\}$ gleichgradig integrierbar ist.
  
  $\Box$

Korollar 3.3   Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von Zufallsvariablen, so dass ${\mathbb{E}\,} \vert X_n\vert <\infty$ für jedes $n\ge 1$ und $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ mit Wahrscheinlichkeit $1$. Wenn $\{X_n,n\ge 1\}$ gleichgradig integrierbar ist, dann gilt ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ und $\lim_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}X_n={\mathbb{E}\,}X$.

Beweis

$\;$ Wegen $\vert{\mathbb{E}\,}X_n-{\mathbb{E}\,}X\vert\le{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert$ ergibt sich die Behauptung unmittelbar aus Lemma 3.7.

$\Box$