Optionales Sampling-Theorem

Für jede endliche Stoppzeit $T:\Omega\to[0,\infty)$ betrachten wir die $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}_T$, die gegeben ist durch

$$\mathcal{F}_T=\{A\in\mathcal{F}:\, A\cap\{T\le t\}\in\mathcal{F}_t\; \mbox{für jedes $t\ge 0$} \,\}\,,$$ (22)

wobei die folgenden Eigenschaften der ,,gestoppten'' $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}_T$ nützlich sind.

Lemma 3.9   Für beliebige endliche Stoppzeiten $S,T:\Omega\to[0,\infty)$ mit $P(S\le T)=1$ gilt $\mathcal{F}_S\subset\mathcal{F}_T$. Außerdem gilt für jeden adaptierten càdlàg Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$

$$\{\omega\in\Omega:\,X_T(\omega)\in B\}\in\mathcal{F}_T\qquad\forall\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,,$$ (23)

d.h., $X_T$ ist eine $\bigl(\mathcal{F}_T,\mathcal{B}(\mathbb{R})\bigr)$-messbare Zufallsvariable.

Beweis

$\;$

• Wir zeigen zunächst, dass $\mathcal{F}_S\subset\mathcal{F}_T$, wenn $P(S\le T)=1$.
  • Sei $A\in\mathcal{F}_S$, d.h., für jedes $t\ge 0$ gelte $A\cap\{S\le t\}\in\mathcal{F}_t$.
  • Hieraus folgt, dass $A\cap\{T\le t\}=A\cap\{S\le t\}\cap\{T\le t\}\in\mathcal{F}_t$ für jedes $t\ge 0$, weil
    $$\{T\le t\}=\{S\le t\}\cap\{T\le t\}$$   und$$\qquad \{T\le t\}\in\mathcal{F}_t \qquad\forall \,t\ge 0\,.$$

• Wir zeigen nun, dass $\{X_T\in B\}\cap\{T\le t\}\in\mathcal{F}_t$ für beliebige $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und $t\ge 0$.
  • Für jedes $t\ge 0$ fassen wir dabei den (eingeschränkten) Prozess $\{X_s,\,s\in[0,t]\}$ als Abbildung $X:[0,t]\times\Omega\to\mathbb{R}$ auf, die gegeben ist durch

    $$(s,\omega)\mapsto X_s(\omega)\,.$$ (24)

    
    

  • Weil der Prozess $\{X_t\}$ càdlàg ist, gilt für beliebige $(s,\omega)\in[0,t]\times\Omega$
    $$X_s(\omega)=X_0(\omega){1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{0\}}(s)+\lim_{n... ...^{2^n} {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{((k-1)t/2^n,\,kt/2^n]}(s)X_{kt/2^n}(\omega)\,.$$

  • Weil $\{X_t\}$ adaptiert ist, sind sämtliche Summanden auf der rechten Seite des letzten Ausdruckes $\bigl(\mathcal{B}([0,t])\otimes\mathcal{F}_t,\,\mathcal{B}(\mathbb{R})\bigr)$-messbar.
  • Damit besitzt auch ihr Grenzwert diese Messbarkeitseigenschaft, d.h., die in (24) gegebene Abbildung ist $\bigl(\mathcal{B}([0,t])\otimes\mathcal{F}_t,\,\mathcal{B}(\mathbb{R})\bigr)$-messbar.
  • Außerdem betrachten wir die Abbildung $g:\Omega\cap\{T\le t\}\to[0,t]\times\Omega$ mit

    $$g(\omega)=\bigl(T(\omega),\omega\bigr)\,,$$ (25)

    
    
    wobei diese Abbildung $\bigl(\mathcal{F}_t\cap\{T\le t\},\,\mathcal{B}([0,t])\otimes\mathcal{F}_t\bigr)$-messbar ist.
  • Hieraus folgt, dass die Superposition $X\circ g:\,\Omega\cap\{T\le t\}\to\mathbb{R}$ der in (24) bzw. (25) gegebenen Abbildungen $\bigl(\mathcal{F}_t\cap\{T\le t\},\,\mathcal{B}(\mathbb{R})\bigr)$-messbar ist.
    
    $\Box$

Wir kommen nun zum sogenannten optionalen Sampling-Theorem für Martingale bzw. für gestoppte Martingale.

Theorem 3.12   Der Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei adaptiert und càdlàg. Wenn $\{X_t\}$ ein Martingal und $T:\Omega\to[0,\infty)$ eine endliche Stoppzeit ist, dann gilt

$${\mathbb{E}\,}(X_t \mid \mathcal{F}_T) = X_{T\wedge t}\qquad\forall\, t\ge 0\,.$$ (26)

Beweis

$\;$

• Wir zeigen zunächst, dass

  $${\mathbb{E}\,}\bigl(X_t\mid \mathcal{F}_{T^{(n)}}\bigr) = X_{T^{(n)}\wedge t}\qquad\forall\, n\ge 1,\;t\ge 0\,,$$ (27)

  
  
  wobei $\{T^{(n)},\,n\ge 1\}$ die in $(\ref{disc.meth.st})$ eingeführte Folge von diskreten Stoppzeiten ist.
  • Hierfür sei $t_k=t$ und $t_1\le\ldots\le t_{k-1}\le t$ bezeichne die Werte, die die Zufallsvariable $T^{(n)}\wedge t$ mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann.
  • Dann gilt für jedes $A\in\mathcal{F}_{T^{(n)}}$
    

    $$(X_t-X_{T^{(n)}\wedge t}){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A) = \Bigl(\sum_{i=1}^{k-1} (X_t-X_{t_i}){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\wedge t= t_i)\Bigr){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)$$

    $$= \Bigl(\sum_{i=2}^k(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\wedge t< t_i)\Bigr){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,.$$

    
    

  • Hieraus folgt, dass
    

    $${\mathbb{E}\,}\Bigl((X_t-X_{T^{(n)}\wedge t}){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\Bigr) = \sum_{i=2}^k{\mathbb{E}\,}\Bigl( (X_{t_i}-X_{t_{i-1}}){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\wedge t< t_i){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\Bigr)$$

    $$= \sum_{i=2}^k{\mathbb{E}\,}\Bigl( {\mathbb{E}\,}\Bigl((X_{t_i}-X_{... ...< t_i){1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\;\big\vert\; \mathcal{F}_{t_{i-1}}\Bigr)\Bigr)$$

    $$= \sum_{i=2}^k{\mathbb{E}\,}\Bigl( {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\... ...b{E}\,}\bigl(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}\;\big\vert\; \mathcal{F}_{t_{i-1}}\bigr)\Bigr)$$

    $$= 0\,,$$

    
    
    wobei sich die vorletzte Gleichheit aus der Definitionsgleichung (22) der $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}_{T^{(n)}}$ und aus Teilaussage 4 von Theorem 2.11 ergibt.
  • Somit gilt
    $${\mathbb{E}\,}\bigl(X_t\mid \mathcal{F}_{T^{(n)}}\bigr) ={\mathbb... ...l(X_{T^{(n)}\wedge t}\mid \mathcal{F}_{T^{(n)}}\bigr) = X_{T^{(n)}\wedge t}\,,$$
    weil $X_{T^{(n)}\wedge t}$ eine $\bigl(\mathcal{F}_{T^{(n)}},\mathcal{B}(\mathbb{R})\bigr)$-messbare Zufallsvariable ist; vgl. Lemma 3.9.
• Aus Lemma 3.9 folgt außerdem, dass $\mathcal{F}_T\subset\mathcal{F}_{T^{(n)}}$, weil $T\le T^{(n)}$.
• Mit Hilfe der Teilaussage 5 von Theorem 2.11 ergibt sich nun hieraus und aus (27), dass
  $${\mathbb{E}\,}(X_t \mid \mathcal{F}_T) = {\mathbb{E}\,}({\mathbb{... ... \mathcal{F}_T) = {\mathbb{E}\,}( X_{T^{(n)} \wedge t} \mid \mathcal{F}_T) \,.$$

• Weil $\lim_{n\to\infty}T^{(n)}\downarrow T$, weil der Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ càdlàg ist und weil die Folge $\{X_{T^{(n)}\land t}, \ n\ge 1\}$ gemäß Lemma 3.8 gleichgradig integrierbar ist, gilt also
  $${\mathbb{E}\,}(X_t \mid \mathcal{F}_T) = \lim_{n\to\infty} {\math... ...al{F}_T)={\mathbb{E}\,}( X_{T \wedge t} \mid \mathcal{F}_T)= X_{T \wedge t}\,,$$
  wobei sich die letzte Gleichheit aus Lemma 3.9 ergibt.
  
  $\Box$

Korollar 3.4   $\;$ Der Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei adaptiert und càdlàg. Wenn $\{X_t\}$ ein Martingal und $S,T:\Omega\to[0,\infty)$ beliebige endliche Stoppzeiten mit $P(S\le T)=1$ sind, dann gilt

$${\mathbb{E}\,}(X_{T\wedge t} \mid \mathcal{F}_S) = X_{S\wedge t}\qquad\forall\, t\ge 0\,.$$ (28)

Insbesondere gilt

$${\mathbb{E}\,}X_{T\wedge t}={\mathbb{E}\,}X_0\qquad\forall\,t\ge 0\,.$$ (29)

Beweis

$\;$

• Sei $\{X_t\}$ ein Martingal. Aus Theorem 3.11 folgt dann, dass der stochastische Prozess $\{X_{T\land t},t\ge 0\}$ ebenfalls ein Martingal ist.
  • Es ist klar, dass mit $\{X_t\}$ auch $\{X_{T\land t}\}$ càdlàg ist. Außerdem ergibt sich aus Lemma 3.9, dass $\{X_{T\land t}\}$ adaptiert ist.
  • Wir können also Theorem 3.12 auf das Martingal $\{X_{T\land t},t\ge 0\}$ anwenden und erhalten, dass
    $${\mathbb{E}\,}(X_{T\land t} \mid \mathcal{F}_S) = X_{T\wedge(S\wedge t)}=X_{S\wedge t}\qquad\forall\,t\ge 0\,,$$

  • wobei sich die letzte Gleichheit aus der Annahme ergibt, dass $S\le T$.
• Wenn wir die ,,Stoppzeit'' $S=0$ in (28) einsetzen, dann ergibt sich, dass ${\mathbb{E}\,}(X_{T\wedge t} \mid \mathcal{F}_0) = X_0$ bzw. ${\mathbb{E}\,}X_{T\wedge t}={\mathbb{E}\,}X_0$ für jedes $t\ge 0$.
  
  $\Box$