Gestoppte Martingale

Lemma 3.8    

• Der Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei adaptiert und càdlàg. Außerdem sei $T:\Omega\to[0,\infty)$ eine endliche Stoppzeit und sei $\{T^{(n)},\,n\ge 1\}$ die in $(\ref{disc.meth.st})$ eingeführte Folge von diskreten Stoppzeiten mit $T^{(n)}\ge T^{(n+1)}$ und $\lim_{n\to\infty} T^{(n)}=T$.
• Wenn $\{X_t\}$ ein Martingal ist, dann ist die Folge $X_{T^{(1)}\land t},X_{T^{(2)}\land t},\ldots$ gleichgradig integrierbar für jedes $t\ge 0$, wobei $s\land t=\min\{s,t\}$.

Beweis

$\;$

• Weil ${\mathbb{E}\,}\vert X_{T^{(n)}\land t}\vert\le \sum_{\{k:\,k< 2^nt\}} {\mathbb{E}\,}\bigl\vert X_{k/2^n}\bigr\vert +{\mathbb{E}\,}\vert X_t\vert<\infty$ für beliebige $n\ge 1$ und $t\ge 0$, genügt es zu zeigen, dass die Bedingung (14) in der Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit erfüllt ist.
  • Aus Theorem 3.9 folgt, dass $\{\vert X_t\vert,\,t\ge 0\}$ ein Submartingal ist. Somit gilt
    

    $${\sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}[\vert X_{T^{(n)}\land t}\vert; \vert X_{T^{(n)}\land t}\vert>x]}$$

    $$= \sup_{n\ge 1}\Bigl(\sum_{\{k:\,k<2^nt\}}{\mathbb{E}\,}[\vert X_{k/2^n}\vert; \{T^{(n)}=\frac{k}{2^n}\}\cap\{ \vert X_{T^{(n)}\land t}\vert>x\}]$$

    $$\hspace{5cm} +{\mathbb{E}\,}[\vert X_t\vert; \{T^{(n)}\ge t\}\cap\{ \vert X_{T^{(n)}\land t}\vert>x\}] \Bigr)$$

    $$\le \sup_{n\ge 1}\Bigl(\sum_{\{k:\,k<2^nt\}}{\mathbb{E}\,}[\vert X_t\vert; \{T^{(n)}=\frac{k}{2^n}\}\cap\{ \vert X_{T^{(n)}\land t}\vert>x\}]$$

    $$\hspace{5cm} +{\mathbb{E}\,}[\vert X_t\vert; \{T^{(n)}\ge t\}\cap\{ \vert X_{T^{(n)}\land t}\vert>x\}] \Bigr)$$

    $$= \sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}[\vert X_t\vert; \vert X_{T^{(n)}\land... ...[\left\vert X_t\right\vert; Y> x\right]= {\mathbb{E}\,}[\vert X_t\vert;Y> x]\,,$$

    
    
    wobei $Y=\sup_{n\ge 1} \vert X_{T^{(n)}\land t}\vert$.
  • Andererseits ergibt die Anwendung von Theorem 3.10 auf das Submartingal $\{\vert X_t\vert,\,t\ge 0\}$, dass
    $$P(Y> x)\le P(\sup_{0\le v\le t}\vert X_v\vert> x)\le \frac{{\mathbb{E}\,}\vert X_t\vert}{x}\qquad\forall\,t,x>0\,.$$

  • Hieraus folgt insbesondere, dass $\lim_{x\to\infty} P(Y> x)=0$.
• Aus dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz ergibt sich nun insgesamt, dass
  $$\lim_{x\to\infty} \sup_{n\ge 1}{\mathbb{E}\,}[\vert X_{T^{(n)}\la... ...and t}\vert>x]\le \lim_{x\to\infty} {\mathbb{E}\,}[\vert X_t\vert;Y\ge x]=0\,.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Theorem 3.11   Der Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei adaptiert und càdlàg. Wenn $\{X_t\}$ ein Martingal und $T:\Omega\to[0,\infty)$ eine endliche Stoppzeit ist, dann ist auch der stochastische Prozess $\{X_{T\land t},t\ge 0\}$ ein Martingal.

Beweis

$\;$

• Ähnlich wie im Beweis von Korollar 3.2 kann man zeigen, dass $X_{T\land t}$ für jedes $t\ge 0$ eine $\mathcal{F}_t$-messbare Zufallsvariable ist.
• Es muss also lediglich noch gezeigt werden, dass für beliebige $t\ge 0$, $v\in[0,t)$ und $A\in\mathcal{F}_v$

  $${\mathbb{E}\,}\vert X_{T\land t}\vert<\infty \qquad {\mathbb{E}\,}[X_{T\land t};A]={\mathbb{E}\,}[X_{T\land v};A]\,.$$ (20)

  
  

• Dabei betrachten wir zunächst die in $(\ref{disc.meth.st})$ eingeführte Folge $\{T^{(n)},\,n\ge 1\}$ von diskreten Stoppzeiten und zeigen, dass für jedes $n\ge 1$ und für beliebige $t\ge 0$, $v\in[0,t)$ und $A\in\mathcal{F}_v$

  $${\mathbb{E}\,}\vert X_{T^{(n)}\land t}\vert<\infty \qquad {\mathbb{E}\,}[X_{T^{(n)}\land t};A]={\mathbb{E}\,}[X_{T^{(n)}\land v};A]\,.$$ (21)

  
  
  • Genauso wie im Beweis von Lemma 3.8 ergibt sich, dass ${\mathbb{E}\,}\vert X_{T^{(n)}\land t}\vert<\infty$.
  • Seien nun $t_1,\ldots,t_k\in(v,t)$ die Werte, die die Stoppzeit $T^{(n)}$ mit positiver Wahrscheinlichkeit zwischen $v$ und $t$ annehmen kann.
  • Dann ergibt sich aus den Teilaussagen 4 und 5 von Theorem 2.11, dass
    

    $${ {\mathbb{E}\,}(X_{T^{(n)}\land t}\mid\mathcal{F}_v) ={\mathbb{E... ...\mathbb{E}\,}(X_{T^{(n)}\land t}\mid\mathcal{F}_{t_k})\mid\mathcal{F}_v\bigr) }$$

    $$= {\mathbb{E}\,}( {\mathbb{E}\,}({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\le... ...rm I}}(T^{(n)}> t_k)X_{T^{(n)}\land t} \mid\mathcal{F}_{t_k})\mid\mathcal{F}_v)$$

    $$= {\mathbb{E}\,}( {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\le t_k){\mathbb{E... ...rm I}}(T^{(n)}> t_k){\mathbb{E}\,}(X_t \mid\mathcal{F}_{t_k})\mid\mathcal{F}_v)$$

    $$= {\mathbb{E}\,}( {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\le t_k) X_{T^{(n)... ...{\mathbb{E}\,}( {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}> t_k) X_{t_k}\mid\mathcal{F}_v)$$

    $$= {\mathbb{E}\,}( {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}\le t_k) X_{T^{(n)... ...}( {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(T^{(n)}> t_k) X_{T^{(n)}\land t_k}\mid\mathcal{F}_v)$$

    $$= {\mathbb{E}\,}( X_{T^{(n)}\land t_k} \mid\mathcal{F}_v)$$

    $$\vdots$$

    $$= {\mathbb{E}\,}( X_{T^{(n)}\land t_1} \mid\mathcal{F}_v)= {\mathbb{E}\,}( X_{T^{(n)}\land v} \mid\mathcal{F}_v)=X_{T^{(n)}\land v} \,.$$

    
    

  • Damit ist (21) bewiesen.
• Weil $\{X_t\}$ is càdlàg ist, gilt $\lim_{n\to\infty}X_{T^{(n)}\land t}=X_{T\land t}$ und $\lim_{n\to\infty}X_{T^{(n)}\land v}=X_{T\land v}$.
• Gemäß Lemma 3.8 sind die Folgen $\{X_{T^{(n)}\land v}, \ n\ge 1\}$ und $\{X_{T^{(n)}\land t}, \ n\ge 1\}$ außerdem gleichgradig integrierbar.
• Wegen (21) ergibt sich somit die Gültigkeit von (20) mit Hilfe von Korollar 3.3.
  
  $\Box$