Anwendungsbeispiele

Um die in Abschnitt 3.2 dargelegten Begriffe und Ergebnisse der Martingaltheorie bei der Untersuchung von Lévy-Prozessen anwenden zu können, benötigen wir noch zwei weitere grundlegende Eigenschaften von Lévy-Prozessen, die wir hier ohne Beweis angeben.

Theorem 3.13   Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess mit den Charakteristiken $(a,b,\nu)$.

• Dann gibt es eine càdlàg Modifikation $\{\widetilde X_t,\,t\ge 0\}$ von $\{X_t\}$, so dass $\{\widetilde X_t\}$ ebenfalls ein Lévy-Prozess ist und zwar mit den gleichen Charakteristiken $(a,b,\nu)$ wie $\{X_t\}$.
• Wenn der Lévy-Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ càdlàg ist, dann ist die (durch $\{X_t\}$ erzeugte) natürliche Filtration $\{\mathcal{F}_t^X,\,t\ge 0\}$ rechtsstetig.

Ein Beweis von Theorem 3.13 kann zum Beispiel in Applebaum (2004), S. 74-77 nachgelesen werden.

Wegen Theorem 3.13 werden wir in den weiteren Abschnitten dieses Skriptes (o.B.d.A.) voraussetzen, das die jeweils betrachteten Lévy-Prozesse càdlàg sind.