Regularität der Trajektorien

Das folgende Beispiel zeigt, dass der gemäß Theorem 1.1 zu vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsmaßen $\{P_{t_1,\ldots,t_n}\}$ stets existierende stochastische Prozess, der diese Wahrscheinlichkeitsmaße als endlich-dimensionale Verteilungen hat, im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist.

• Sei $U$ eine (gleichverteilte) Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum
  $$(\Omega,\mathcal{F},P)=([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\nu_1)$$
  mit $U(\omega)=\omega$, wobei $\nu_1$ das Lebesgue-Maß bezeichnet.
• Die stochastischen Prozesse $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ und $\{Y_t,\,t\in [0,1]\}$ seien gegeben durch
  $$X_t=0$$   $$\mbox{für jedes $t\in[0,1]$}$$   bzw.$$\qquad Y_t=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, & \mbox{falls $U=t$},\\ 0\,, & \mbox{sonst.}\end{array}\right.$$

• Es ist klar, dass die Prozesse $\{X_t\}$ und $\{Y_t\}$ die gleichen endlich-dimensionalen Verteilungen besitzen, weil $P(U=t)=0$ für jedes $t\in[0,1]$ gilt.
• Dennoch sind $\{X_t\}$ und $\{Y_t\}$ zwei verschiedene stochastische Prozesse, denn es gilt beispielsweise
  $$P(X_t=0\;$$   für jedes $t\in[0,1]$$$)=1$$   und$$\qquad P(Y_t=0\;$$   für jedes $t\in[0,1]$$$)=0\,.$$

Definition

$\;$

• Stochastische Prozesse $\{X_t\}$ und $\{Y_t\}$, deren endlich-dimensionale Verteilungen übereinstimmen, werden Versionen einunddesselben stochastischen Phänomens genannt.
• Wenn für die stochastischen Prozesse $\{X_t\}$ und $\{Y_t\}$
  $$P(X_t=Y_t)=1$$   $$\mbox{für jedes $t\in I$}$$$$$$
  gilt, dann wird $\{Y_t\}$ eine Modifikation von $\{X_t\}$ (und umgekehrt) genannt.

Ein weiteres Problem besteht darin, dass Teilmengen von $\Omega=\mathbb{R}^{[0,\infty)}$, die durch Eigenschaften der Trajektorien gegeben sind, im allgemeinen nicht messbar bezüglich der $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}$ sein müssen, die durch die Zylinder-Mengen in (4) erzeugt wird.

• Ein Beispiel hierfür ist die Teilmenge
  $$A=\{\omega\in\Omega:\,X_t(\omega)=0\;$$   $$\mbox{für jedes $t\in[0,1]$}$$$$\}$$
  von $\Omega$, die der (überabzählbare) Durchschnitt $A=\bigcap_{t\in[0,1]}\{X_t=0\}$ der Ereignisse $\{X_t=0\}\in\mathcal{F}$ ist und die deshalb im allgemeinen nicht messbar sein muss.
• Dieses Problem lässt sich dadurch lösen, dass man nur solche stochastischen Prozesse betrachtet, deren Trajektorien gewisse Regularitätseigenschaften besitzen.
• Falls alle Trajektorien des Prozesses $\{X_t\}$ stetige Funktionen sind, dann wird $\{X_t\}$ ein stetiger Prozess genannt.
  • In diesem Fall lässt sich die in oben betrachtete Menge $A\subset\Omega$ als der Durchschnitt von abzählbar vielen Mengen aus $\mathcal{F}$ darstellen.
  • Denn es gilt dann
    $$A=\bigcap_{\mbox{$t\in[0,1]$, $t$\ rational}} \{\omega\in\Omega:\,X_t(\omega)=0\}\,,$$
    d.h. $A\in\mathcal{F}$.

Die im folgenden Kapitel 2 betrachteten klassischen Beispiele von stochastischen Prozessen zeigen jedoch, dass es nicht ausreicht, nur Prozesse mit stetigen Trajektorien zu betrachten.

• Deshalb wird im allgemeinen eine größere Klasse von stochastischen Prozessen betrachtet, die alle praktisch relevanten Beispiele umfasst und deren Trajektorien gleichzeitig gute Regularitätseigenschaften besitzen.
• Dabei wird nur gefordert, dass die Trajektorien überall rechtsstetig sind und linksseitige Grenzwerte besitzen. Hinreichende Bedingungen hierfür sind durch das folgende Theorem gegeben.

Theorem 1.2   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein beliebiger reellwertiger Prozess, und sei $D\subset[0,\infty)$ eine abzählbare Menge, die dicht in $[0,\infty)$ liegt. Falls

(i)

$\{X_t\}$ rechtsstetig in Wahrscheinlichkeit ist, d.h., für beliebige $t\ge 0$ und $h\downarrow 0$ gilt $X_{t+h}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}X_t$, wobei $\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}$ die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bezeichnet,

(ii)

die Trajektorien von $\{X_t\}$ für jedes $t\in D$ mit Wahrscheinlichkeit $1$ endliche rechts- und linksseitige Grenzwerte besitzen, d.h., für jedes $t\in D$ existieren die Grenzwerte $\lim_{h\downarrow 0} X_{t+h}$ und $\lim_{h\uparrow 0} X_{t+h}$ mit Wahrscheinlichkeit $1$,

dann gibt es eine Version $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ von $\{X_t,\,t\ge 0\}$, so dass mit Wahrscheinlichkeit $1$

(a)

die Trajektorien von $\{Y_t\}$ rechtsstetig sind und

(b)

linksseitige Grenzwerte besitzen, d.h., $\lim_{h\uparrow 0} Y_{t+h}$ existiert für jedes $t\ge 0$.

Der Beweis von Theorem 1.2 geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen; er kann beispielsweise in Breiman (1992), S. 300 nachgelesen werden.

Theorem 1.3   (A.N. Kolmogorow)$\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein beliebiger reellwertiger Prozess, so dass es Konstanten $a,b>0$ und $c<\infty$ gibt mit

$${\mathbb{E}\,}\bigl(\vert X_t-X_s\vert^a\bigr)\le c\,\vert t-s\vert^{1+b}\qquad\forall \, t,s\ge 0\,.$$

Dann gibt es eine stetige Modifikation von $\{X_t\}$.

Einen Beweis von Theorem 1.3 kann man zum Beispiel in Krylov (2002), S. 20-21 nachlesen.