Simulationsalgorithmus; Akzeptanz- und Verwerfungsmethode

Sei $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ ein Poisson-Prozess mit dem (diffusen und lokal endlichen) Intensitätsmaß $\mu$, und seien $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{M}^d$ paarweise disjunkte Quader mit der in (2) gegebenen Form, so dass $\mu(B_i)>0$ für jedes $i=1,\ldots,n$.

Um den Poisson-Prozess $\{N_B\}$ in der beschränkten Borel-Menge $C=\bigcup_{i=1}^n B_i$ zu simulieren, genügt es zu beachten,

• dass das zufällige Zählmaß $\{\widetilde N_B\}$ mit $\widetilde N_B=N_{B\cap C}$ gemäß Theorem 4.10 ein Poisson-Prozess mit dem endlichen Zählmaß $\widetilde\mu$ ist wobei $\widetilde\mu(B)=\mu(B\cap C)$,
• und dass man deshalb gemäß Theorem 4.8 bzw. Korollar 4.2 wie folgt vorgehen kann:

Schritt 0$\;$ Generiere eine Realisierung von $N_C\sim{\rm Poi}(\mu(C))$.

Schritt 1$\;$ Falls $N_C=k$, dann generiere eine Realisierung des multinomial verteilten Zufallsvektors

$$(N_1,\ldots,N_n)\sim{\rm Mult}(k;p_1,\ldots,p_n)\,,$$

wobei $p_i=\mu(B_i)/\mu(C)$ für jedes $i=1,\ldots,n$.

Schritt 2$\;$ Falls $(N_1,\ldots,N_n)=(k_1,\ldots,k_n)$, dann generiere

$k_1$ unabhängige Zufallsvektoren $S_1^{(1)},\ldots,S_{k_1}^{(1)}\sim\mu(\cdot\cap B_1)/\mu(B_1)$,

$\vdots$

$k_n$ unabhängige Zufallsvektoren $S_1^{(n)},\ldots,S_{k_n}^{(n)}\sim\mu(\cdot\cap B_n)/\mu(B_n)$,

wobei die Zufallsvektoren $(S_1^{(1)},\ldots,S_{k_1}^{(1)}),\,\ldots,\,(S_1^{(n)},\ldots,S_{k_n}^{(n)})$ ebenfalls unabhängig sind.

Beachte

 

• Seien $(s_1^{(1)},\ldots,s_{k_1}^{(1)}),\,\ldots,\, (s_1^{(n)},\ldots,s_{k_n}^{(n)})$ Realisierungen von $(S_1^{(1)},\ldots,S_{k_1}^{(1)}),\,\ldots,\,(S_1^{(n)},\ldots,S_{k_n}^{(n)})$.
• Dann ist die (nichtgeordnete) Menge $\{s_1^{(1)},\ldots,s_{k_1}^{(1)},\,\ldots,\, s_1^{(n)},\ldots,s_{k_n}^{(n)}\}$ von Punkten im $\mathbb{R}^d$ eine Realisierung der Atome des Poisson-Prozesses $\{N_B\}$ in der Menge $C=\bigcup_{i=1}^n B_i$.

Wenn die Anzahl $n$ der Quader $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{M}^d$ groß ist, aus denen die Menge $C=\bigcup_{i=1}^n B_i$ besteht, dann kann die praktische Umsetzung der Simulationsschritte 1 und 2 mit einem großen Rechenaufwand verbunden sein.

• In diesem Fall kann es effizienter sein, den Poisson-Prozess $\{N_B\}$ mit der folgenden Akzeptanz- und Verwerfungsmethode in $C$ zu simulieren.
• Diese Methode hat darüber hinaus den Vorteil, dass das Gebiet $C\subset\mathbb{R}^d$, in dem Poisson-Prozess $\{N_B\}$ simuliert wird, eine beliebige beschränkte Borel-Menge sein kann.
  • Sei also $C\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ eine beliebige beschränkte Borel-Menge mit $0<\mu(C)<\infty$, und sei
    $$\widetilde C= (a_1,b_1]\times\ldots\times(a_d,b_d]$$
    ein (beschränkter) $d$-dimensionaler Quader mit $C\subset\widetilde C$.
  • Um den Poisson-Prozess $\{N_B\}$ in der Menge $C$ zu simulieren, kann man nun gemäß Theorem 4.10 wie folgt vorgehen:

Schritt 0$\;$ Generiere eine Realisierung von $N_{C}\sim{\rm Poi}(\mu(C))$.

Schritt 1$\;$ Falls $N_C=k$, dann generiere so lange Realisierungen $s_1,s_2,\ldots$ der unabhängigen Zufallsvektoren $S_1,S_2,\ldots\sim\mu(\cdot\cap \widetilde C)/\mu(\widetilde C)$, bis $k$ der Pseudozufallszahlen $s_1,\ldots,s_n$ in der Menge $C$ liegen, wobei

$$n=\min_{j\ge 1}\bigl\{\char93 \{i:\,s_i\in C, 1\le i\le j\}\ge k\bigr\}\,.$$

Schritt 3$\;$ Dann ist die (nichtgeordnete) Menge $\{s_i:\,s_i\in C, 1\le i\le n\}$ von Punkten im $\mathbb{R}^d$ eine Realisierung der Atome des Poisson-Prozesses $\{N_B\}$ in der Menge $C$.