Transformationssätze; radiale Simulation von homogenen Poisson-Prozessen

In diesem Abschnitt betrachten wir zwei verschiedene Arten von Transformationen von Poisson-Prozesse im $\mathbb{R}^d$.

Für beliebige $d,d^\prime\ge 1$ seien die Borel-Mengen $E\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ und $E^\prime\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d^\prime})$ gegeben.

• Außerdem sei ${\mathbf{T}}:E\to E^\prime$ eine Borel-messbare Abbildung, d.h., es gelte
  $${\mathbf{T}}^{-1}(B^\prime)=\{x\in E:\, {\mathbf{T}}(x)\in B^\prime\}\in\mathcal{B}(E)\qquad\forall\,B^\prime\in \mathcal{B}(E^\prime)\,,$$

• wobei die Urbilder von beschränkten Borel-Mengen beschränkt seien, d.h., es gelte
  $${\mathbf{T}}^{-1}(B^\prime)\in\mathcal{B}_0(E)\qquad\forall\,B^\prime\in \mathcal{B}_0(E^\prime)\,.$$

Beachte

$\;$ Sei $\{N_B,\,B\in \mathcal{B}(E)\}$ ein beliebiges Zählmaß in $E$ mit dem Intensitätsmß $\mu:\mathcal{B}(E)\to[0,\infty]$. Man kann sich leicht überlegen, dass dann durch den Ansatz

$$N^\prime_{B^\prime}=N_{{\mathbf{T}}^{-1}(B^\prime)}\qquad\forall\,B^\prime\in \mathcal{B}(E^\prime)$$ (15)

ein zufälliges Zählmaß $\{N^\prime_{B^\prime},\,B^\prime\in \mathcal{B}(E^\prime)\}$ in $E^\prime$ gegeben ist, wobei das Intensitätsmaß $\mu^\prime:\mathcal{B}(E^\prime)\to[0,\infty]$ von $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ gegeben ist durch

$$\mu^\prime(B^\prime)={\mathbb{E}\,} ... ...{\mathbf{T}}^{-1}(B^\prime))\qquad\forall\,B^\prime\in \mathcal{B}(E^\prime)\,.$$ (16)

Theorem 4.12   Sei $\{N_B,\,B\in \mathcal{B}(E)\}$ ein Poisson-Prozess in $E$ mit dem (diffusen und lokal endlichem) Intensitätsmaß $\mu$.

• Dann ist das in $(\ref{def.zah.str})$ gegebene zufällige Zählmaß $\{N^\prime_{B^\prime},\,B^\prime\in \mathcal{B}(E^\prime)\}$ ein Poisson-Prozess in $E^\prime$, dessen Intensitätsmaß $\mu^\prime$ durch $(\ref{int.mas.str})$ gegeben ist.
• Wenn $\{S_i\}$ eine messbare Indizierung der Atome von $\{N_B\}$ ist und wenn die Abbildung ${\mathbf{T}}:E\to E^\prime$ eineindeutig ist, dann ist durch

  $$S_i^\prime={\mathbf{T}}^\prime(S_i)$$ (17)

  
  
  eine messbare Indizierung $\{S_i^\prime\}$ der Atome von $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ gegeben, wobei die Abbildung ${\mathbf{T}}^\prime:\,E\cup\{\infty\}\to E^\prime \cup\{\infty\}$ gegeben ist durch
  $${\mathbf{T}}^\prime(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\mathbf{T}}(x)\,... ...box{falls $x\in E$,}\\ \infty\,,&\mbox{falls $x=\infty$.} \end{array}\right.$$

Beweis

 

• Offenbar gilt $N^\prime_{B^\prime}=N_{{\mathbf{T}}^{-1}(B^\prime)}\sim{\rm Poi}(\mu({\mathbf{T}}^{-1}(B^\prime))$.
• Wenn $B_1^\prime,\ldots,B_n^\prime\in\mathcal{B}_0^{d^\prime}(E^\prime)$ paarweise disjunkte Borel-Mengen sind, dann sind auch die Urbilder ${\mathbf{T}}^{-1}(B_1^\prime),\ldots,{\mathbf{T}}^{-1}(B_n^\prime)$ paarweise disjunkt und die Zufallsvariablen
  $$N^\prime_{B_1^\prime} =N_{{\mathbf{T}}^{-1}(B_1^\prime)}\,,\ldots\,, N^\prime_{B_n^\prime} =N_{{\mathbf{T}}^{-1}(B_n^\prime)}$$
  sind somit unabhängig.
• Außerdem ist die Abbildung $S_i^\prime={\mathbf{T}}^\prime(S_i):\,\Omega\to E^\prime\cup\{\infty\}$ für jedes $i\ge 1$ messbar, weil die Abbildungen $S_i:\Omega\to E\cup\{\infty\}$ und ${\mathbf{T}}^\prime:\,E\cup\{\infty\}\to E^\prime \cup\{\infty\}$ messbar sind, und es gilt für jedes $B^\prime\in\mathcal{B}(E^\prime)$
  $$N^\prime_{B^\prime}=N_{{\mathbf{T}}^{-1}(B^\prime)}=\char93 \{i:\... ...{T}}^{-1}(B^\prime)\}= \char93 \{i:\,{\mathbf{T}}^\prime(S_i)\in B^\prime\}\,.$$

• Also ist $\{{\mathbf{T}}^\prime(S_i)\}$ eine messbare Indizierung der Atome von $\{N^\prime_{B^\prime}\}$.
  
  $\Box$

Beispiele

$\;$ Sei $\{N_B,\,B\in \mathcal{B}(E)\}$ ein homogener Poisson-Prozess in $E=(0,\infty)$ mit der Intensität $\lambda=1$.

1. Sei $E^\prime=E=(0,\infty)$ und ${\mathbf{T}}(x)=x^2$.
   • Dann ist $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ ein Poisson-Prozess in $(0,\infty)$.
   • Das Intensitätsmaß $\mu^\prime$ von $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ ist absolutstetig bezüglich dem (1-dimensionalen) Lebesgue-Maß $\nu_1(\cdot\cap(0,\infty))$, wobei die Dichte gegeben ist durch
     $$\frac{{\rm d}\mu^\prime}{{\rm d}x}\;(x)=\;\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad\forall\,x>0\,.$$

2. Sei $E^\prime=E\times E$ und die Abbildung ${\mathbf{T}}:\,E\to E\times E$ sei gegeben durch ${\mathbf{T}}(x)=(x,x^2)$.
   • Dann ist die Folge $\{S_i\}$ der Sprungzeitpunkte des (Poissonschen) Zählprozesses $\{N_t,\,t>0\}$ mit $N_t=N_{(0,t]}$ eine messbare Indizierung der Atome von $\{N_B\}$.
   • Außerdem ist $\{S_i^\prime\}=\{(S_i,S_i^2)\}$ eine messbare Indizierung der Atome eines Poisson-Prozesses $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ in $(0,\infty)^2$,
   • dessen Intensitätsmaß $\mu^\prime$ auf dem Funktionsgraphen $\{(x,x^2):\,x>0\}$ konzentriert ist.
   • Beachte: Das heißt insbesondere, dass die Atome von $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 in einer 1-dimensionalen Teilmenge von $(0,\infty)^2$ liegen.

Wir betrachten nun noch eine andere Art der Transformation von Poisson-Prozessen in $\mathbb{R}^d$, mit deren Hilfe man Poisson-Prozesse $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ in höherdimensionalen Räumen $E^\prime\subset \mathbb{R}^{d^\prime}$ mit $d^\prime>d$ konstruieren kann, so dass der Träger des Intensitätsmaßes $\mu^\prime$ von $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ eine $d^\prime$-dimensionale Menge ist.

Theorem 4.13    

• Sei $\{N_B,\,B\in \mathcal{B}(E)\}$ ein Poisson-Prozess in $E$ mit dem Intensitätsmaß $\mu$, so dass $\mu(E)>0$, und sei $\{S_i\}$ eine messbare Indizierung der Atome von $\{N_B\}$.
• Außerdem sei $m\ge 1$ eine beliebige natürliche Zahl und $U_1,U_2,\ldots:\,\Omega\to\mathbb{R}^m$ sei eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit der Verteilung $P_U$, die von $\{S_i\}$ unabhängig sind.
• Dann ist durch

  $$N^\prime(B\times C)=\char93 \{i:\, (S_i,U_i)\in B\times C\}\qquad\forall\,B\in\mathcal{B}(E),\,C\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$$ (18)

  
  
  ein Poisson-Prozess $\{N^\prime_{B^\prime}\}$ in $E^\prime=E\times\mathbb{R}^m$ mit dem Intensitätsmaß $\mu^\prime=\mu\times P_U$ gegeben.

Beweis

 

• Wir betrachten zunächst den Fall, dass $\mu$ ein endliches Maß ist.
  • Dann können wir o.B.d.A. annehmen, dass die messbare Indizierung $\{S_i\}$ der Atome von $\{N_B\}$ durch (5) und (9) gegeben ist.
  • Dann sind die Zufallsvektoren $S_1^\prime,S_2^\prime,\ldots$ mit $S_i^\prime=(S_i,U_i)$ unabhängig, und es gilt
    $$S_i^\prime\sim \;\frac{\mu(\cdot)}{\mu(E)}\;\times\, P_U\qquad\forall\,i\ge 1\,.$$

  • Aus Korollar 4.2 ergibt sich nun, dass durch den Ansatz
    $$N^\prime_{B^\prime}=\char93 \{i:\,1\le i\le N, S_i^\prime\in B^\prime\}\qquad\forall\,B^\prime\in\cal^(E\times\mathbb{R}^m)$$
    ein Poisson-Prozess $N^\prime_{B^\prime}$ in $E^\prime=E\times\mathbb{R}^m$ mit dem Intensitätsmaß $\mu^\prime$ gegeben ist, wobei
    $$\mu^\prime(B\times C)=\mu(E)\bigl(\frac{\mu(B)}{\mu(E)}\;\times\,... ...mes P_U(C)\qquad\forall\,B\in\mathcal{B}(E),\,C\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)\,.$$

  • Damit ist die Behauptung unter der zusätzlichen Annahme bewiesen, dass $\mu$ endlich ist.
• Wenn $\mu$ ein beliebiges (diffuses und lokal endliches) Maß ist,
  • dann können wir $\mu^\prime=\mu\times P_U$ als (abzählbar unendliche) Summe von endlichen Maßen $\mu^\prime_1,\mu^\prime_2,\ldots$ darstellen
  • und anschließend so wie im Beweis von Theorem 4.11 vorgehen.
    
    $\Box$

Beachte

 

• Ähnlich wie bei den zusammengesetzten Poisson-Prozessen in $[0,\infty)$, die in Abschnitt 2.2.2 eingeführt worden sind, können die in Theorem 4.13 betrachteten Zufallsvariablen $U_i$ als ,,Marken'' der Atome $S_i$ aufgefasst werden.
• Dabei sagt man, dass die Folge $\{(S_i,U_i)\}$ der markierten Atome eine messbare Indizierung eines unabhängig markierten Poisson-Prozesses ist.

Mit Hilfe der Theoreme 4.12 und 4.13 konstruieren wir nun einen Algorithmus zur radialen Simulation von homogenen Poisson-Prozessen im $\mathbb{R}^2$.

• Sei $T_1,T_2,\ldots:\,\Omega\to[0,\infty)$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit $T_i\sim{\rm Exp}(1)$ für jedes $i\ge 1$,
• Für jedes $\lambda>0$ ergibt sich dann aus Theorem 4.12, dass durch
  $$N_B=\char93 \Bigl\{i:\,\sqrt{\sum_{k=1}^i\;\frac{T_k}{\pi\lambda}}\in B\Bigr\}\qquad\forall\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))$$
  ein Poisson-Prozess $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$ in $[0,\infty)$ gegeben ist, dessen Intensitätsmaß $\mu$ absolutstetig ist mit der Dichte
  $$\frac{{\rm d}\mu}{{\rm d}x}\;(x)=2\pi\lambda x\qquad\forall\,x\ge 0\,.$$

• Dabei ist durch
  $$S_i=\sqrt{\sum_{k=1}^i\;\frac{T_i}{\pi\lambda}}\qquad\forall\,i\ge 1$$
  eine messbare Indizierung $\{S_i\}$ der Atome von $\{N_B\}$ gegeben.
• Außerdem sei $U_1,U_2,\ldots:\,\Omega\to[0,2\pi)$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit $U_i\sim{\rm U}([0,2\pi))$, die unabhängig von $\{T_i\}$ ist.
• Dann ergibt sich aus Theorem 4.13, dass $\{(S_i,U_i)\}$ eine messbare Indizierung der Atome eines Poisson-Prozesses in $[0,\infty)\times[0,2\pi)$ ist, dessen Intensitätsmaß durch $\mu\times{\rm U}(0,2\pi)$ gegeben ist.
• Die erneute Anwendung von Theorem 4.12 auf die Abbildung ${\mathbf{T}}:[0,\infty)\times[0,2\pi)\to\mathbb{R}^2$ mit

  $${\mathbf{T}}(s,u)=(s\cos u,\,s\sin u)\qquad\forall\,s\ge 0,\,u\in[0,2\pi)$$ (19)

  
  
  ergibt schließlich, dass $\{{\mathbf{T}}(S_i,U_i)\}$ eine messbare Indizierung der Atome eines homogenen Poisson-Prozessen in $\mathbb{R}^2$ mit der Intensität $\lambda$ ist.

Um einen homogenen Poisson-Prozess mit der Intensität $\lambda$ im Kreis $B(0,r)=\{x\in\mathbb{R}^2:\,\vert x\vert\le r\}$ mit Radius $r>0$ zu simulieren, kann man also wie folgt vorgehen:

Schritt 0$\;$ Generiere die Pseudozufallszahlen $t_1,t_2,\ldots,t_{n(r)}$ gemäß der Verteilung ${\rm Exp}(1)$, wobei

$$n(r)=\max\Bigl\{i:\,\sqrt{\sum_{k=1}^i\;\frac{t_k}{\pi\lambda}}\;\le r\Bigr\}\,.$$

Schritt 1$\;$ Generiere die Pseudozufallszahlen $u_1,u_2,\ldots,u_{n(r)}$ gemäß der Verteilung ${\rm U}(0,2\pi)$.

Schritt 2$\;$ Berechne die Pseudozufallsvektoren $(s_1,u_1),\ldots,(u_{n(r)},u_{n(r)})$, wobei

$$s_i=\sqrt{\sum_{k=1}^i\;\frac{t_k}{\pi\lambda}}\qquad\forall\,i\ge 1\,.$$

Schritt 3$\;$ Transformiere die Pseudozufallsvektoren $(s_1,u_1),\ldots,(u_{n(r)},u_{n(r)})$ mit Hilfe der in (19) gegebenen Abbildung ${\mathbf{T}}:[0,\infty)\times[0,2\pi)\to\mathbb{R}^2$.

Schritt 4$\;$ Generiere so die Realisierung ${\mathbf{T}}(s_1,u_1),\ldots,{\mathbf{T}}(u_{n(r)},u_{n(r)})$ eines homogenen Poisson-Prozesses mit der Intensität $\lambda$ im Kreis $B(0,r)=\{x\in\mathbb{R}^2:\,\vert x\vert\le r\}$.