Pearson-Fisher-Teststatistik

• So wie in Abschnitt 5.1.1 ,,vergröbern'' wir das Modell, d.h., wir zerlegen den Wertebereich der Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ in $r$ Klassen $(a_1,b_1],\ldots,(a_r,b_r]$ mit
  $$-\infty\le a_1<b_1=a_2<b_2=\ldots=a_r<b_r\le\infty\,,$$
  wobei $r$ eine (hinreichend große) natürliche Zahl ist.
• Anstelle des Zufallsvektors $(X_1,\ldots,X_n)$ betrachten wir den Zufallsvektor $(Z_1,\ldots,Z_r)$ der in bereits in (5) eingeführten ,,Klassenstärken'', d.h.,
  $$Z_j=\char93 \{i: \,1\le i\le n,\, a_j<X_i\le b_j\}\,,\qquad\forall\, j=1,\ldots,r\,.$$

• Gemäß Lemma 5.1 gilt dann $(Z_1,\ldots,Z_r)\sim\,{\rm M}_{r-1}(n,{\mathbf{p}})$, wobei wir aber nun annehmen, daß der Parameter ${\mathbf{p}}=(p_1,\ldots,p_{r-1})^\top\in[0,1]^{r-1}$ der Multinomialverteilung $M_{r-1}(n,{\mathbf{p}})$ eine (bekannte) Funktion ${\boldsymbol{\theta}}\mapsto{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}})$ des (unbekannten) Parametervektors ${\boldsymbol{\theta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_m)^\top\in\Theta\subset\mathbb{R}^m$ ist, wobei $m<r-1$ gelte.
• Getestet werden soll die Hypothese $H_0: {\mathbf{p}}\in\{{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}}),\,{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta\}$ (gegen die Alternative $H_1: {\mathbf{p}}\not\in\{{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}}),\,{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta\}$).
• Um bei der Verifizierung dieser Hypothesen ähnlich wie in Abschnitt 5.1 vorgehen zu können, muß zunächst ein Schätzer $\widehat{\boldsymbol{\theta}}=(\widehat\theta_1,\ldots,\widehat\theta_m)^\top$ für ${\boldsymbol{\theta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_m)^\top$ bestimmt werden.
• Damit ist auch gleichzeitig ein Schätzer $(\widehat p_1,\ldots,\widehat p_r)= (p_1(\widehat{\boldsymbol{\theta}}),\ldots,p_r(\widehat{\boldsymbol{\theta}}))$ für die Wahrscheinlichkeiten $p_j=\mathbb{P}(a_j<X_1\le b_j))$ für jedes $j=1,\ldots,r$ gegeben.

Definition

$\;$ Die Stichprobenfunktion $\widehat T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ mit

$$\widehat T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits _{j=1}^r\;\frac{\bigl(Z_... ...ots,x_n)-n\widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)\bigr)^2}{n \widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)}$$ (23)

heißt Pearson-Fisher-Statistik.

Beachte

 

• Für jedes $j\in\{1,\ldots,r\}$ gilt
  $$\lim\limits_{n\to\infty} {\mathbb{E}\,} \Bigl\vert\;\frac{1}{n}\;Z_j(X_1,\ldots,X_n)-\widehat p_j(X_1,\ldots,X_n)\Bigr\vert=0\,,$$
  falls die Abbildung ${\boldsymbol{\theta}}\mapsto{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}})$ stetig und $\widehat{\boldsymbol{\theta}}$ ein (schwach) konsistenter Schätzer für ${\boldsymbol{\theta}}$ ist.
• Es ist deshalb erneut sinnvoll, die Nullhypothese $H_0$ abzulehnen, falls $\widehat T_n(x_1,\ldots,x_n)$ signifikant größer als 0 ist.
• Um dies entscheiden zu können,
  • diskutieren wir zunächst Bedingungen an die Abbildung ${\boldsymbol{\theta}}\mapsto{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}})$, die die Konstruktion einer Folge von konsistenten (Maximum-Likelihood-) Schätzern $\widehat{\boldsymbol{\theta}}_n$ für ${\boldsymbol{\theta}}$ ermöglichen, die asymptotisch normalverteilt sind,
  • und bestimmen danach die (asymptotische Grenz-) Verteilung der in (23) eingeführten Testgröße $\widehat T_n$ für $n\to\infty$.