Gesetz der großen Zahlen

Wir diskutieren nun allgemeinere Varianten des Gesetzes der großen Zahlen, das bereits in Abschnitt 4.1.1 im Zusammenhang mit dem Beispiel des wiederholten Würfelns erwähnt wurde. Dabei

• betrachten wir eine beliebige Folge von Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ mit $X_i\in L^1$ und mit dem gleichen Erwartungswert $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$ für alle $i=1,2,\ldots$ und
• untersuchen die Frage, unter welchen Bedingungen und in welchem Sinne das arithmetische Mittel

  $$Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n X_i$$ (15)

  
  
  gegen $\mu$ strebt, falls $n$ unendlich groß wird.