Schwaches Gesetz der großen Zahlen

• Zunächst geben wir eine Bedingung dafür an, dass das in (15) betrachtete arithmetische Mittel $Y_n$ in Wahrscheinlichkeit gegen den Erwartungswert $\mu$ konvergiert, falls $n\to\infty$.
• In der Literatur nennt man Aussagen dieses Typs schwaches Gesetz der großen Zahlen.

Theorem 5.13   Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von Zufallsvariablen mit dem gleichen Erwartungswert $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$ und mit ${\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ für alle $i=1,2,\ldots$.

1.

Falls

$$\lim\limits _{n\to\infty}{\rm Var\,}Y_n=0\,,$$ (16)

dann gilt $Y_n\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}\mu$.

2.

Die Bedingung $(\ref{var.nul})$ ist insbesondere dann erfüllt, wenn die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots$ unabhängig sind mit der gleichen Varianz $\sigma^2={\rm Var\,}X_i$ für alle $i=1,2,\ldots$.

Beweis

 

Zu 1:

• Durch wiederholte Anwendung der Minkowski-Ungleichung (4.68) für $p=2$ ergibt sich, dass
  $$\sqrt{{\mathbb{E}\,}(Y_n^2)}\le\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{{\mathbb{E}\,}(X_i^2)}\,,$$

• d.h., ${\mathbb{E}\,}(Y_n^2)<\infty$ gilt für jedes $n=1,2,\ldots$.
• Weil außerdem ${\mathbb{E}\,}Y_n=\mu$ für jedes $n=1,2,\ldots$, ergibt sich aus der Tschebyschew-Ungleichung (4.72), dass für jedes $\varepsilon>0$
  

  $$P(\vert Y_n-\mu\vert>\varepsilon) \le \frac{{\mathbb{E}\,}\bigl((Y_n-\mu)^2\bigr)}{\varepsilon^2}$$

  $$= \frac{{\rm Var\,}Y_n}{\varepsilon^2}\;.$$

  
  

• Hieraus und aus (16) ergibt sich, dass $Y_n\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}\mu$.

Zu 2:

• Die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots$ seien nun unabhängig mit der gleichen Varianz $\sigma^2={\rm Var\,}X_i$ für alle $i=1,2,\ldots$.
• Dann gilt für $n\to\infty$
  $${\rm Var\,}Y_n = \frac{1}{n^2}\sum\limits _{i=1}^n {\rm Var\,} X_i = \frac{1}{n^2}\, n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}\longrightarrow 0\,.$$
  
   
    $\Box$