next up previous contents
Next: Starkes Gesetz der großen Up: Gesetz der großen Zahlen Previous: Gesetz der großen Zahlen   Contents


Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Theorem 5.13   Sei $ X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von Zufallsvariablen mit dem gleichen Erwartungswert $ \mu={\mathbb{E}\,}X_i$ und mit $ {\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ für alle $ i=1,2,\ldots$.
1.
Falls

$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}{\rm Var\,}Y_n=0\,,$ (16)

dann gilt $ Y_n\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}\mu$.
2.
Die Bedingung % latex2html id marker 34932
$ (\ref{var.nul})$ ist insbesondere dann erfüllt, wenn die Zufallsvariablen $ X_1,X_2,\ldots$ unabhängig sind mit der gleichen Varianz $ \sigma^2={\rm Var\,}X_i$ für alle $ i=1,2,\ldots$.

Beweis
 
Zu 1:
  • Durch wiederholte Anwendung der Minkowski-Ungleichung (4.68) für $ p=2$ ergibt sich, dass

    $\displaystyle \sqrt{{\mathbb{E}\,}(Y_n^2)}\le\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{{\mathbb{E}\,}(X_i^2)}\,,
$

  • d.h., $ {\mathbb{E}\,}(Y_n^2)<\infty$ gilt für jedes $ n=1,2,\ldots$.
  • Weil außerdem $ {\mathbb{E}\,}Y_n=\mu$ für jedes $ n=1,2,\ldots$, ergibt sich aus der Tschebyschew-Ungleichung (4.72), dass für jedes $ \varepsilon>0$
    $\displaystyle P(\vert Y_n-\mu\vert>\varepsilon)$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{{\mathbb{E}\,}\bigl((Y_n-\mu)^2\bigr)}{\varepsilon^2}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{{\rm Var\,}Y_n}{\varepsilon^2}\;.$  

  • Hieraus und aus (16) ergibt sich, dass $ Y_n\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}\mu$.
Zu 2:
  • Die Zufallsvariablen $ X_1,X_2,\ldots$ seien nun unabhängig mit der gleichen Varianz $ \sigma^2={\rm Var\,}X_i$ für alle $ i=1,2,\ldots$.
  • Dann gilt für $ n\to\infty$

    $\displaystyle {\rm Var\,}Y_n = \frac{1}{n^2}\sum\limits _{i=1}^n {\rm Var\,}
X_i
= \frac{1}{n^2}\, n\sigma^2
= \frac{\sigma^2}{n}\longrightarrow 0\,.
$


     
      $ \Box$



next up previous contents
Next: Starkes Gesetz der großen Up: Gesetz der großen Zahlen Previous: Gesetz der großen Zahlen   Contents
Ursa Pantle 2004-05-10