F-Tests für die zweifaktorielle Varianzanalyse

Wir konstruieren nun F-Tests für das in Abschnitt 3.1.3 eingeführte Modell der zweifaktoriellen Varianzanalyse mit balancierten Teilstichproben, d.h.,

• der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ hat die Form
  $${\boldsymbol{\beta}}=\bigl(\mu,\alpha^{(1)}_1,\ldots, \alpha^{(1)... ..._1,\ldots, \alpha^{(2)}_{k_2},\alpha_{11},\ldots,\alpha_{k_1k_2}\bigr)^\top ,$$

• die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ hat die Dimension $n\times m$, wobei $n=rk_1k_2$ und $m=1+k_1+k_2+k_1k_2$,
• die Eintragungen von ${\mathbf{X}}$ bestehen nur aus Nullen und Einsen, und es gilt ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=k_1k_2<m$.

Signifikanz der Einflussfaktoren

 

Wir konstruieren zunächst einen Test zur Untersuchung der Frage, ob die Stufen des ersten Einflussfaktors signifikant sind. Hierfür prüfen wir die Hypothese, ob die Effekte

$$\alpha_{i_1}^{(1)*}=\alpha_{i_1}^{(1)}+\frac{1}{k_2}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\alpha_{i_1i_2}$$

des ersten Einflussfaktors, zuzüglich ihrer Wechselwirkungen gemittelt über sämtliche Stufen des zweiten Einflussfaktors, gleich sind. Mit anderen Worten: Wir testen die Hypothese

$$H_0: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}=0\quad\forall i_1\in\{1,\ldots,k_1\} \quad H_1: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}\not=0 \mbox{für ein $i_1\in\{1,\ldots,k_1\}$} ,$$ (89)

wobei es eigentlich genügt, das Hypothesenpaar

$$H_0: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}=0\quad\forall i_1\in\{2,\ldots,k_1\}$$   vs.$$\quad H_1: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}\not=0$$   $$\mbox{für ein $i_1\in\{2,\ldots,k_1\}$}$$$$$$

zu betrachten.

• Man kann leicht zeigen, dass die Nullhypothese in (89) die Form $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ hat,
  • wobei
    $${\mathbf{H}}=\left(\begin{array}{ccccccccccccccccccc} 0 & 1 & -1 ... ...& 0 & \ldots & 0 & & \frac{-1}{k_2}& \ldots &\frac{-1}{k_2} \end{array}\right)$$
    eine $(k_1-1)\times m$ Matrix mit vollem Zeilenrang ${ {\rm rg}}({\mathbf{H}})=k_1-1$ und mit Zeilenblöcken der Längen $1$, $1$, $k_1-1$, $k_2$, $k_2$ bzw. $(k_1-1) k_2$ ist
  • und sämtliche Komponenten des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind, denn es gilt
    $$\alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}=\frac{1}{k_2} \sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\Bigl(\theta_{1i_2}-\theta_{i_1i_2}\bigr) .$$

• Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ kann somit erneut die in Theorem 3.16 betrachtete Testgröße $T_{\mathbf{H}}$ verwendet werden, wobei
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/(k_1-1)}{SSE/(k_1k_2(r-1))}\sim {\rm F}_{k_1-1, k_1k_2(r-1)}$$
  mit

  $$SSE=\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=1}^r \bigl(Y_{i_1i_2j}-\overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2$$ (90)

  
  
  und

  $$SSE_H-SSE=rk_2 \sum\limits_{i_1=1}^{k_1} \bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}- \overline Y_{\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2 .$$ (91)

  
  

• Dabei lassen sich die Formeln (90) und (91) für die in (74) bzw. (75) definierten Quadratsummen $SSE$ und $SSE_H$ auf ähnliche Weise wie in Abschnitt 3.4.1 herleiten.
• Und zwar ergibt sich (90) mit der gleichen Minimierungstechnik, die bei der direkten Herleitung von (86) verwendet wurde. Darüber hinaus lässt sich die Quadratsumme $SSE_H$ wie folgt bestimmen.
  • Sowie bisher ist $\Theta_H=\{{\boldsymbol{\beta}}\in\mathbb{R}^{1+k_1+k_2+k_1k_2}:\,{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\bf o}\}$ der eingeschränkte Parameterraum.
  • Wegen der speziellen Gestalt der Matrizen ${\mathbf{X}}$ und ${\mathbf{H}}$ kann bei der Minimierung in
    $$SSE_H = ({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\o... ...in\Theta_H}\bigl\vert{\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}\bigr\vert^2$$
    die Menge $\{{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}:\,{\boldsymbol{\beta}}\in\Theta_H\}\subset \mathbb{R}^{rk_1k_2}$ auf die folgende Weise (ähnlich wie in Formel (87)) durch eine Minimierung bezüglich der Menge $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_2}_H\times\mathbb{R}^{k_1k_2}_H\subset\mathbb{R}^{1+k_2+k_1k_2}$ derjenigen Vektoren ${\mathbf{x}}=(x,x_1,\ldots,x_{k_2},x_{11},\ldots,x_{k_1k_2})\in\mathbb{R}^{1+k_2+k_1k_2}$ ersetzt werden, die den folgenden Bedingungen genügen:
    $$\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} x_{i_2}=\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} x_{i_1i_2}=0 .$$

• Und zwar gilt
  

  $$SSE_H = \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_2}_H\ti... ..._2=1}^{k_2} \sum\limits_{j=1}^r\bigl(Y_{i_1i_2j}-(x+x_{i_2}+x_{i_1i_2})\bigr)^2$$

  $$= \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_2}_H\ti... ...1}^{k_1}\bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}-\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2$$

  $$+ k_1r \sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\bigl(\overline Y_{\cdot i_2\cdo... ...{\cdot i_2\cdot}+\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}-x_{i_1i_2} \bigr)^2 \Biggr\} ,$$

  
  
  d.h.,
  

  $$SSE_H = \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=... ...{k_1}\bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}-\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2 .$$

  
  

• Hieraus und aus (90) ergibt sich (91).

Beachte

 

• Auf die gleiche Weise ergibt sich ein Test, um zu prüfen, ob die Stufen des zweiten Einflussfaktors signifikant sind. Dabei prüfen wir die Hypothese, ob die Effekte
  $$\alpha_{i_2}^{(2)*}=\alpha_{i_2}^{(2)}+\frac{1}{k_1}\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\alpha_{i_1i_2}$$
  des zweiten Einflussfaktors, zuzüglich ihrer Wechselwirkungen gemittelt über sämtliche Stufen des ersten Einflussfaktors, gleich sind.
• Wir testen also die Hypothese
  $$H_0: \alpha_{1}^{(2)*}-\alpha_2^{(2)*}=0 , \ldots , \alpha_{1}^{(2)*}-\alpha_{k_2}^{(2)*}=0$$   versus$$\quad H_1: \alpha_{1}^{(2)*}-\alpha_{i_2}^{(2)*}\not=0$$   $$\mbox{für ein $i_2\in\{1,\ldots,k_2\}$}$$$$.$$

• Als Testgröße ergibt sich in diesem Fall:
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{k_1k_2(r-1)rk_1 \sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \b... ...i_1i_2j}-\overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2}\sim {\rm F}_{k_2-1, k_1k_2(r-1)}$$

Wechselwirkungen zwischen den beiden Einflussfaktoren

 

Wir konstruieren nun einen Test, um zu prüfen, ob es signifikante Wechselwirkungen zwischen den beiden Einflussfaktoren gibt. Hierfür wird die Hypothese

$$H_0:\alpha^*_{11}-\alpha^*_{i_1i_2}=0\quad\forall (i_1,i_2)\in\{1,\ldots,k_1\}\times\{1,\ldots,k_2\}$$ (92)

getestet, wobei

$$\alpha^*_{i_1i_2}=\alpha_{i_1i_2}-\overline\alpha_{i_1 \cdot} -\overline\alpha_{\cdot i_2} +\overline\alpha_{\cdot \cdot}$$

und

$$\overline\alpha_{i_1 \cdot}=\frac{1}{k_2}\sum\limits_{i_2=1}^{k_... ...}{k_1k_2}\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \alpha_{i_1i_2} .$$

• Auf ähnliche Weise wie bisher kann man zeigen, dass sich die in (92) betrachtete Hypothese in der Form $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ schreiben lässt, wobei
  • ${\mathbf{H}}$ eine $(k_1k_2-1)\times m$ Matrix mit vollem Zeilenrang ${ {\rm rg}}({\mathbf{H}})=k_1k_2-1$ ist und
  • sämtliche Komponenten des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind, denn es gilt
    $$\alpha_{i_1i_2}^*=\theta_{i_1i_2}-\frac{1}{k_2} \sum\limits_{i_2=... ...}{k_1k_2}\sum\limits_{i_1=1}^{k_1} \sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\theta_{i_1i_2} .$$

• Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ kann somit die in Theorem 3.16 betrachtete Testgröße
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/(k_1k_2-1)}{SSE/(k_1k_2(r-1))}$$
  verwendet werden, wobei $SSE$ so wie bisher durch (90) gegeben ist, während sich die Quadratsumme $SSE_H$ aus den folgenden Überlegungen ergibt.
• Wegen der speziellen Gestalt der Matrizen ${\mathbf{X}}$ und ${\mathbf{H}}$ kann bei der Minimierung in
  $$SSE_H = ({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\o... ...in\Theta_H}\bigl\vert{\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}\bigr\vert^2$$
  die Menge $\{{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}:\,{\boldsymbol{\beta}}\in\Theta_H\}\subset \mathbb{R}^{rk_1k_2}$ ähnlich wie bisher durch die Menge $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H\times\mathbb{R}^{k_2}_H\subset\mathbb{R}^{1+k_1+k_2}$ derjenigen Vektoren
  $${\mathbf{x}}=(x,x^{(1)}_1,\ldots,x^{(1)}_{k_1},x^{(2)}_1,\ldots,x^{(2)}_{k_2})\in\mathbb{R}^{1+k_1+k_2}$$
  ersetzt werden, die den folgenden Bedingungen genügen:
  $$\sum\limits_{i_1=1}^{k_1} x^{(1)}_{i_1}=\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} x^{(2)}_{i_2}=0 .$$

• Und zwar gilt
  

  $$SSE_H = \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H\ti... ...2} \sum\limits_{j=1}^r\bigl(Y_{i_1i_2j}-(x+x_{i_1}^{(1)}+x_{i_2}^{(2)})\bigr)^2$$

  
  
  bzw.
  

  $$SSE_H = \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H\ti... ...1}^{k_2}\sum\limits_{j=1}^r \bigl(Y_{i_1i_2j}-\overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2$$

  $$+ k_1k_2r\bigl(\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}-x\bigr)^2+k_2r\sum\l... ...erline Y_{\cdot i_2\cdot}-\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}-x^{(2)}_{i_2} \bigr)^2$$

  $$+r\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \bigl(\overl... ...}-\overline Y_{\cdot i_2\cdot}+\overline Y_{\cdot\cdot\cdot} \bigr)^2 \Biggr\}$$

  $$= \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=... ...cdot} -\overline Y_{\cdot i_2\cdot}+\overline Y_{\cdot\cdot\cdot} \bigr)^2 .$$

  
  

• Hieraus und aus (90) folgt, dass

  $$SSE_H-SSE=\;r \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} ... ...t\cdot}-\overline Y_{\cdot i_2\cdot}+\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2 .$$ (93)

  
  

• Für die in Theorem 3.16 betrachtete Testgröße $T_{\mathbf{H}}$ gilt also, dass
  

  $$T_{\mathbf{H}} = \frac{(SSE_H-SSE)/(k_1k_2-1)}{SSE/\bigl(k_1k_2(r-1)\bigr)}$$

  $$= \frac{k_1k_2(r-1) r \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^... ...j}-\overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2} \sim {\rm F}_{k_1k_2-1, k_1k_2(r-1)} .$$