Zweifaktorielle Varianzanalyse mit hierarchischer Klassifikation

• Anstelle des in Abschnitt 3.1.3 eingeführten Modells der zweifaktoriellen Varianzanalyse mit Wechselwirkungen wird manchmal das folgende Modell der zweifaktoriellen Varianzanalyse mit hierarchischer Klassifikation der Stufenpaare $i_1,i_2$ der beiden Einflussfaktoren betrachtet.
• Dabei betrachten wir nun die Darstellung

  $$\theta_{i_1i_2}=\mu+\alpha^{(1)}_{i_1}+\alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1} ,\qquad\forall i_1=1,\ldots,k_1,\; i_2=1,\ldots,k_2$$ (94)

  
  
  der Erwartungswerte $\theta_{i_1i_2}={\mathbb{E} }Y_{i_1i_2 j}$ der Stichprobenvariablen $Y_{i_1i_2j}$.
• Mit anderen Worten: In jede der $k_1$ Stufen des ersten, d.h. übergeordneten Einflussfaktors sind $k_2$ Stufen des zweiten (untergeordneten) Einflussfaktors eingebettet.
• Diese Situation kann beispielsweise bei klinischen Studien auftreten, die gleichzeitig in $k_1$ Ländern (übergeordneter Einflussfaktor) und dabei jeweils in $k_2$ Krankenhäusern (untergeordneter Einflussfaktor) durchgeführt werden.
• Der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ hat dann die Dimension $m=1+k_1+k_1k_2$ mit
  $${\boldsymbol{\beta}}=\bigl(\mu,\alpha^{(1)}_1,\ldots, \alpha^{(1)... ...a^{(2\mid 1)}_{1\mid 1}, \ldots,\alpha^{(2\mid 1)}_{k_2\mid k_1}\bigr)^\top .$$

• Dabei wird
  • $\mu$ erneut als allgemeines Mittel der Erwartungswerte ${\mathbb{E} } Y_{i_1i_2j}$ der Stichprobenvariablen $Y_{i_1i_2j}$ aufgefasst,
  • $\alpha^{(1)}_{i_1}$ wird Effekt der $i_1$-ten Stufe des übergeordneten Einflussfaktors genannt, und
  • $\alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1}$ heißt Effekt der $i_2$-ten Stufe des untergeordneten Einflussfaktors bei Vorliegen der $i_1$-ten Stufe des übergeordneten Einflussfaktors.
• Wir betrachten wiederum lediglich den balancierten Fall, d.h., wir setzen voraus, dass sämtliche $k_1\cdot k_2$ Teilstichproben $(Y_{i_1i_2j}, j=1,\ldots,n_{i_1i_2})$ identische Stichprobenumfänge besitzen.
• Es gilt also $n_{i_1i_2}=r$ für alle $i_1=1,\ldots,k_1$ und $i_2=1,\ldots,k_2$ mit $r=n/(k_1k_2)$, die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ hat die Dimension $n\times m$ mit $n=rk_1k_2$ und $m=1+k_1+k_1k_2$, und die Eintragungen von ${\mathbf{X}}$ bestehen nur aus Nullen und Einsen; ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=k_1k_2<m$.

Signifikanz des übergeordneten Einflussfaktors

 

• Genauso wie in Abschnitt 3.4.2 lässt sich zunächst ein Test zur Untersuchung der Frage konstruieren, ob die Stufen des übergeordneten Einflussfaktors signifikant sind. Hierfür prüfen wir die Hypothese, ob die gemittelten Effekte $\alpha_{i_1}^{(1)*}$ gleich sind, wobei
  $$\alpha_{i_1}^{(1)*}=\alpha_{i_1}^{(1)}+\frac{1}{k_2}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1} .$$

• Mit anderen Worten: Wir testen die Hypothese
  $$H_0: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}=0\quad\forall i_1\in\{1,\ldots,k_1\}$$   versus$$\qquad H_1: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}\not=0$$   $$\mbox{für ein $i_1\in\{1,\ldots,k_1\}$}$$$$.$$

• Man kann zeigen, dass die Nullhypothese die Form $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ hat, wobei ${\mathbf{H}}$ eine $(k_1-1)\times m$ Matrix mit vollem Zeilenrang ${ {\rm rg}}({\mathbf{H}})=k_1-1$ ist und sämtliche Komponenten des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind.
• Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ kann somit die in Theorem 3.16 betrachtete Testgröße
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/(k_1-1)}{SSE/(k_1k_2(r-1))}\sim {\rm F}_{k_1-1, k_1k_2(r-1)}$$
  verwendet werden mit

  $$SSE=\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits... ..._1} \bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}- \overline Y_{\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2 ,$$ (95)

  
  
  wobei die Formeln in (95) genauso wie (90) bzw. (91) bewiesen werden.

Signifikanz des untergeordneten Einflussfaktors

 

• Um zu prüfen, ob die Stufen des untergeordneten Einflussfaktors signifikant sind, kann man ähnlich wie bei dem letzten Test in Abschnitt 3.4.2 (auf Signifikanz der Wechselwirkungen) vorgehen. Hierfür testen wir die Hypothese

  $$H_0:\alpha^{(2\mid 1)*}_{1\mid 1}-\alpha^{(2\mid 1)*}_{i_2\mid i_1}=0\quad\forall (i_1,i_2)\in\{1,\ldots,k_1\}\times\{1,\ldots,k_2\} ,$$ (96)

  
  
  wobei
  $$\alpha^{(2\mid 1)*}_{i_2\mid i_1}=\alpha_{i_2\mid i_1}^{(2\mid 1)... ...its_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1} .$$

• Man kann zeigen, dass sich die in (92) betrachtete Hypothese in der Form $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ schreiben lässt, wobei ${\mathbf{H}}$ eine $k_1(k_2-1)\times m$ Matrix mit vollem Zeilenrang ${ {\rm rg}}({\mathbf{H}})=k_1(k_2-1)$ ist und sämtliche Komponenten des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind.
• Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ kann somit die in Theorem 3.16 betrachtete Testgröße
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/(k_1(k_2-1))}{SSE/(k_1k_2(r-1))}$$
  verwendet werden, wobei sich die in (74) bzw. (75) definierten Quadratsummen $SSE$ und $SSE_H$ wie folgt bestimmen lassen.
• Und zwar gilt so wie bisher

  $$SSE=\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=1}^r \bigl(Y_{i_1i_2j}-\overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2 ,$$ (97)

  
  
  und die Menge $\{{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}:\,{\boldsymbol{\beta}}\in\Theta_H\}$ in
  $$SSE_H = ({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\o... ...in\Theta_H}\bigl\vert{\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}\bigr\vert^2$$
  lässt sich wie folgt durch die Menge $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H\subset\mathbb{R}^{1+k_1}$ derjenigen Vektoren ${\mathbf{x}}=(x,x^{(1)}_1,\ldots,x^{(1)}_{k_1})\in\mathbb{R}^{1+k_1}$ ersetzen, für die $\sum_{i_1=1}^{k_1} x^{(1)}_{i_1}=0$, so dass
  

  $$SSE_H = \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H} \... ...ts_{i_2=1}^{k_2} \sum\limits_{j=1}^r\bigl(Y_{i_1i_2j}-(x+x_{i_1}^{(1)})\bigr)^2$$

  $$= \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H} \... ... Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2 + k_1k_2r\bigl(\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}-x\bigr)^2$$

  $$+k_2r\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}-\... ...} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot} \bigr)^2 \Biggr\}$$

  $$= \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=... ...}^{k_2} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot} \bigr)^2 .$$

  
  

• Hieraus und aus (97) folgt, dass
  $$SSE_H-SSE=\;r \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot}\bigr)^2 .$$

• Somit gilt
  $$T_{\mathbf{H}}=\frac{k_1k_2(r-1) r \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\... ...\overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2} \sim {\rm F}_{k_1(k_2-1), k_1k_2(r-1)} .$$