Bewertung der Anpassungsgüte

Ein wichtiges Problem ist die Wahl einer geeigneten Designmatrix ${\mathbf{X}}$, um das Modell ${\mathbf{g}}({\boldsymbol{\pi}})={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}$ möglichst gut an die vorliegenden Daten anzupassen. Das folgende Resultat kann zur Beantwortung dieser Frage dienen.

Theorem 4.5   $\;$ Unter den Bedingungen von Theorem  $\ref{asy.eig.pih}$ gilt

$$\sum_{j=1}^n n_j\;\bigl({\mathbf{g}}(\widehat{\boldsymbol{\pi}})-... ...t{\boldsymbol{\beta}}\bigr) \stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow} \chi^2_{n-m} .$$ (65)

Beweis

 

• In Theorem 4.3 hatten wir gezeigt, dass der Zufallsvektor $\bigl(\sum_{j=1}^n n_j\bigr)^{1/2}\bigl({\mathbf{g}}(\widehat{\boldsymbol{\pi}})-{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}\bigr)$ näherungsweise N $({\bf o},{\mathbf{K}})$ verteilt ist.
• Weil $\widehat{\boldsymbol{\beta}}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}{\boldsymbol{\beta}}$ und $\widehat{\mathbf{K}}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}{\mathbf{K}}$, ergibt sich die Behauptung mit Hilfe
  • des Satzes von Slutsky (vgl. Lemma 4.4),
  • des ,,Continuous Mapping Theorems'' (vgl. Lemma 4.5) sowie
  • des Theorems 1.9 über quadratische Formen von normalverteilten Zufallsvektoren.
    
    $\Box$

Beachte

 

• Wegen Theorem 4.5 kann die Größe $\sum_{j=1}^n n_j\;\bigl({\mathbf{g}}(\widehat{\boldsymbol{\pi}})-{\mathbf{X}}\... ...{g}}(\widehat{\boldsymbol{\pi}})-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}\bigr)$ als Maßzahl für die Güte der Anpassung des Models ${\mathbf{g}}({\boldsymbol{\pi}})={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}$ an die vorliegenden Daten aufgefasst werden.
• Dabei wird die Anpassungsgüte als hinreichend gut eingeschätzt, wenn
  $$\sum_{j=1}^n n_j\;\bigl({\mathbf{g}}(\widehat{\boldsymbol{\pi}})-... ...})-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}\bigr)\;<\;\chi^2_{n-m,1-\alpha} .$$

• Andererseits sollten die Dimensionen von ${\mathbf{X}}$ möglichst klein sein, d.h. insbesondere, dass für jedes $i=1,\ldots,m$ die Nullhypothese des Tests $H_0:\beta_i=0$ vs. $H_1:\beta_i\not=0$ klar abgelehnt werden sollte.