Tests von Verteilungsannahmen

• In diesem Kapitel bezeichnen wir die Stichprobenvariablen mit $X_1,\ldots,X_n$, wobei wir von jetzt an stets voraussetzen, dass $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist.
• Die Annahmen, die wir bisher über die Verteilung $P$ der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ gemacht haben, waren entweder rein qualitativ (diskrete bzw. absolutstetige Verteilung) oder parametrisch, wobei in diesem Fall vorausgesetzt wurde,
  • dass $P$ zu einer parametrischen Familie $\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungen mit $\Theta\subset\mathbb{R}^m$ gehört
  • und dass lediglich der Parametervektor $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m)^\top$ bzw. ein Teil seiner Komponenten unbekannt ist.
• Im Folgenden diskutieren wir nun so genannte Anpassungstests, die in der englischsprachigen Literatur Goodness-of-Fit-Tests genannt werden.
  • Dabei betrachten wir zunächst einen Test, um die Hypothese $H_0:P=P_0$ zu verifizieren, dass die Verteilung $P$ der Stichprobenvariablen gleich einer vorgegebenen (hypothetischen) Verteilung $P_0$ ist.
  • Anschließend konstruieren wir Tests, um zu prüfen, ob $P$ zu einer vorgegebenen (parametrischen) Klasse von Verteilungen $\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ gehört.