Pearson-Fisher-Teststatistik

• So wie in Abschnitt 5.2.1 ,,vergröbern'' wir das Modell, d.h.,
  • wir zerlegen den Wertebereich der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ in $r$ Klassen $(a_1,b_1],\ldots,(a_r,b_r]$ mit $-\infty\le a_1<b_1=a_2<b_2=\ldots=a_r<b_r\le\infty$, wobei $r$ eine (hinreichend große) natürliche Zahl ist.
  • Anstelle der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ betrachten wir erneut die ,,Klassenstärken'' $Z_1,\ldots,Z_r$, die bereits in (32) eingeführt wurden, wobei
    $$Z_j=\char93 \{i: 1\le i\le n, a_j<X_i\le b_j\}\qquad\forall j=1,\ldots,r .$$

• Gemäß Lemma 5.4 gilt dann $(Z_1,\ldots,Z_r)\sim {\rm M}_{r-1}(n,{\mathbf{p}})$, wobei wir jetzt annehmen,
  • dass der Parameter ${\mathbf{p}}=(p_1,\ldots,p_{r-1})^\top\in[0,1]^{r-1}$ der Multinomialverteilung $M_{r-1}(n,{\mathbf{p}})$
  • eine (bekannte) Funktion ${\boldsymbol{\theta}}\mapsto{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}})$ des (unbekannten) Parametervektors ${\boldsymbol{\theta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_m)^\top\in\Theta\subset\mathbb{R}^m$ mit $m<r-1$ ist.
• Getestet werden soll die Hypothese $H_0: {\mathbf{p}}\in\{{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}}),\,{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta\}$.
  • Um bei der Verifizierung dieser Hypothese ähnlich wie in Abschnitt 5.2 vorgehen zu können, muss zunächst ein Schätzer $\widehat{\boldsymbol{\theta}}=(\widehat\theta_1,\ldots,\widehat\theta_m)^\top$ für ${\boldsymbol{\theta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_m)^\top$ bestimmt werden.
  • Damit ist auch gleichzeitig ein Schätzer $(\widehat p_1,\ldots,\widehat p_r)= (p_1(\widehat{\boldsymbol{\theta}}),\ldots,p_r(\widehat{\boldsymbol{\theta}}))$ für die Wahrscheinlichkeiten $(p_1,\ldots,p_r)=(p_1({\boldsymbol{\theta}}),\ldots,p_r({\boldsymbol{\theta}}))$ gegeben, wobei
    $$p_j({\boldsymbol{\theta}})=\mathbb{P}_{\boldsymbol{\theta}}(a_j<X_1\le b_j)\qquad\forall j=1,\ldots,r .$$

Definition

$\;$ Die Zufallsvariable $\widehat T_n(X_1,\ldots,X_n)$, die durch die Stichprobenfunktion $\widehat T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ mit

$$\widehat T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits _{j=1}^r\;\frac{\bigl(Z_... ...ots,x_n)-n\widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)\bigr)^2}{n \widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)}$$ (53)

gegeben ist, heißt Pearson-Fisher-Statistik .

Beachte

 

• Wenn die Abbildung ${\boldsymbol{\theta}}\mapsto{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}})$ stetig und $\widehat{\boldsymbol{\theta}}$ ein (schwach) konsistenter Schätzer für ${\boldsymbol{\theta}}$ ist,
  • dann ergibt sich aus dem Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem WR-5.15), dass für beliebige $j\in\{1,\ldots,r\}$ und ${\boldsymbol{\theta}}\in\Theta$
    $$\lim\limits_{n\to\infty} {\mathbb{E} }_{\boldsymbol{\theta}} \... ...\;\frac{1}{n}\;Z_j(X_1,\ldots,X_n)-\widehat p_j(X_1,\ldots,X_n)\Bigr\vert=0 .$$

  • Es ist deshalb sinnvoll, die Nullhypothese $H_0: {\mathbf{p}}\in\{{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}}),\,{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta\}$ abzulehnen, wenn $\widehat T_n(x_1,\ldots,x_n)$ signifikant größer als 0 ist.
• Um dies entscheiden zu können,
  • diskutieren wir zunächst Bedingungen an die Abbildung ${\boldsymbol{\theta}}\mapsto{\mathbf{p}}({\boldsymbol{\theta}})$, die die Konstruktion einer Folge von konsistenten (Maximum-Likelihood-) Schätzern $\widehat{\boldsymbol{\theta}}_n$ für ${\boldsymbol{\theta}}$ ermöglichen, die asymptotisch normalverteilt sind,
  • und bestimmen danach die (asymptotische Grenz-) Verteilung der in (53) eingeführten Testgröße $\widehat T_n(X_1,\ldots,X_n)$ für $n\to\infty$.