$\chi ^2$-Anpassungstest von Pearson-Fisher

• Die Nullhypothese $H_0:{\mathbf{p}}={\mathbf{p}}_0$, die in Abschnitt 5.2 betrachtet wurde, ist in Wirklichkeit eine zusammengesetzte Hypothese, denn sie ist äquivalent mit der Hypothese
  $$H_0: P\in\Delta_0 ,$$
  wobei $\Delta_0$ die in (35) eingeführte Teilmenge von Verteilungen der Stichprobenvariablen ist.
• Wenn geprüft werden soll, ob die Verteilung $P$ der unabhängigen und identisch verteilten Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ zu einer vorgegebenen (parametrischen) Klasse von Verteilungen $\{P_{\boldsymbol{\theta}},\,{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta\}$ gehört mit $\Theta\subset\mathbb{R}^m$, dann kann ähnlich wie bei dem in Abschnitt 5.2 diskutieren $\chi ^2$-Anpassungstest vorgegangen werden.
• Die Stichprobenfunktion $T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$, die bei der Definition der Pearson-Statistik $T_n(X_1,\ldots,X_n)$ in (36) betrachtet wurde, wird dabei durch eine modifizierte Stichprobenfunktion $\widehat T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ ersetzt.