Unabhängige Zufallsvariablen

Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird durch den in Abschnitt 2.7 eingeführten Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen ausgedrückt.

So heißen zwei Zufallsvariablen $X_1,X_2:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängig, wenn die Ereignisse $\{X_1\le x_1\}$ und $\{X_2\le x_2\}$ für beliebige $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ unabhängig sind.

Für Folgen von Zufallsvariablen wird der Begriff der Unabhängigkeit folgendermaßen gebildet.

Definition

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum.

1. Die Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ heißen unabhängig, falls

   $$F_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n) =F_{X_1}(x_1)\ldots F_{X_n}(x_n)\qquad \forall \, (x_1,\ldots,x_n) \in\mathbb{R}^n\,.$$ (26)

   
   

2. Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige (unendliche) Folge von Zufallsvariablen. Dann sagt man, dass $X_1,X_2,\ldots$ unabhängige Zufallsvariablen sind, falls jede endliche Teilfolge $X_{i_1},\ldots,X_{i_k}$ von $X_1,X_2,\ldots$ aus unabhängigen Zufallsvariablen besteht.

Beachte

 

• Aus den Definitionen der Verteilungsfunktionen $F_{(X_1,\ldots,X_n)}$ und $F_{X_1},\ldots,F_{X_n}$ ergibt sich sofort, dass die Definitionsgleichung (26) äquivalent ist mit

  $$P(X_1\leq x_1,\ldots,X_n\leq x_n)= P(X_1\leq x_1)\ldots P(X_n\leq x_n)\qquad \forall\, x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}\,.$$ (27)

  
  

• Darüber hinaus kann man zeigen, dass (27) und damit auch (26) äquivalent ist mit der folgenden (scheinbar schärferen) Bedingung.

Theorem 3.10   Die Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ sind genau dann unabhängig, wenn

$$P(X_1\in B_1,\ldots,X_n\in B_n)= P(X_1\in B_1)\ldots P(X_n\in B_n)\qquad \forall\, B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$$ (28)

Beweis

 

• Es ist klar, dass (27) aus (28) folgt. Hierfür genügt es, $B_i=(-\infty,x_i]$ zu setzen.
• Umgekehrt ergibt sich (28) aus (27) aus dem Monotone Class Theorem (vgl.Theorem 3.2), wobei ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.4 vorgegangen werden kann.
  
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Hieraus und aus den Definitionsgleichungen (12) und (23) von $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n)$ und $f_{X_1}(x_1),\ldots, f_{X_n}(x_n)$ ergibt sich unmittelbar die folgende Charakterisierung der Unabhängigkeit von diskreten bzw. absolutstetigen Zufallsvariablen.

Theorem 3.11    

1.

Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein diskreter Zufallsvektor mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset\mathbb{R}^n$. Seine Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ sind genau dann unabhängige Zufallsvariable, wenn

$$P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)= P(X_1=x_1)\ldots P(X_n=x_n)\qquad \forall\, (x_1,\ldots,x_n)\in C\,.$$ (29)

2.

Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor. Seine Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ sind genau dann unabhängige Zufallsvariable, wenn

$$f_X(x_1,\ldots,x_n)= f_{X_1}(x_1)\ldots f_{X_n}(x_n)$$ (30)

für fast alle $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$ gilt, d.h., für alle $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\setminus B$, wobei die (Borelsche) ,,Ausnahmemenge'' $B\subset\mathbb{R}^n$ das ($n$-dimensionale) Lebesgue-Maß 0 hat.

Beweis

$\;$

• Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein diskreter Zufallsvektor.
• Offenbar folgt dann (29) aus (28). Hierfür genügt es, $B_i=\{x_i\}$ zu setzen.
• Umgekehrt ergibt sich (28) wegen
  $$P(X_1\in B_1,\ldots,X_n\in B_n)=\sum\limits_{x_1\in B_1\cap C_1 }\ldots\sum\limits_{x_n\in B_n\cap C_n}P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)$$
  sofort aus (29), wobei $C_i\subset\mathbb{R}$ eine abzählbare Menge ist mit $P(X_i\in C_i)=1$; $i=1,\ldots,n$.
• Damit ist die erste Teilaussage bewiesen.
• Sei nun $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit unabhängigen Komponenten.
• Dann ergibt sich aus (23) und (26), dass für beliebige $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$
  

  $$\int\limits^{x_n}_{-\infty}\ldots \int\limits _{-\infty}^{x_1}f_X(y_1,\ldots,y_n)\, dy_{1}\ldots\, dy_n = F_X(x_1,\ldots,x_n)$$

  $$= F_{X_1}(x_1)\ldots F_{X_n}(x_n)$$

  $$= \int\limits _{-\infty}^{x_1}f_{X_1}(y_1)\, dy_1 \ldots \int\limits _{-\infty}^{x_n}f_{X_n}(y_n)\, dy_n$$

  $$= \int\limits^{x_n}_{-\infty}\ldots \int\limits _{-\infty}^{x_1}f_{X_1}(y_1)\ldots f_{X_n}(y_n)\, dy_{1}\ldots\, dy_n\,.$$

  
  

• Hieraus und aus den allgemeinen (Eindeutigkeits-) Eigenschaften von Lebesgue-Integralen folgt die Gültigkeit von (30) für fast alle $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$.
• Umgekehrt ergibt sich aus (23) und (30) sofort die Gültigkeit von (26) und damit die Unabhängigkeit der Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ von $X$.
  
  $\Box$