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Zufallsstichprobe

Der Vektor der vorliegenden Daten $ (x_1,\ldots,x_n)$ kann natürlich im allgemeinen eine komplizierte Struktur aufweisen.

Wir nehmen an, daß die Daten $ x_1,\ldots,x_n$ die Realisierung eines stochastischen Modells sind.

Definition 5.1
 
  1. Der Vektor $ (x_1,\ldots,x_n)$ heißt (konkrete) Stichprobe.
  2. Die Menge $ \mathbb{R}^n$ aller (potentiell möglichen) Stichproben $ (x_1,\ldots,x_n)$ heißt Stichprobenraum.
  3. Der Zufallsvektor $ (X_1,\ldots,X_n)$ heißt Zufallsstichprobe.
  4. Für jedes $ i=1,\ldots,n$ heißt $ x_i$ Stichprobenwert von $ (x_1,\ldots,x_n)$. Analog hierzu nennt man $ X_i$ Stichprobenvariable von $ (X_1,\ldots,X_n)$.
  5. Die Dimension $ n$ von $ (x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $ (X_1,\ldots,X_n)$ heißt Stichprobenumfang.


Beachte
 

Um Eigenschaften der Verteilungsfunktion $ F$ zu bestimmen, werden Funktionen $ \varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ betrachtet, die der Stichprobe $ (x_1,\ldots,x_n)$ die ,,Bewertung'' $ \varphi(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}$ zuordnen, vgl. auch Abschnitt 3.6.1. Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition 5.2
$ \;$ Eine Borel-meßbare Abbildung $ \varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ heißt Stichprobenfunktion.

Beachte
$ \;$ Es ist üblich, auch die zusammengesetzte Abbildung $ \varphi(X_1,\ldots,X_n):\Omega\to\mathbb{R}$ mit $ \varphi(X_1,\ldots,X_n)(\omega)=\varphi(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))$ Stichprobenfunktion zu nennen, d.h., $ \varphi$ ist dann eine Funktion der Zufallsstichprobe $ (X_1,\ldots,X_n)$.


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Roland Maier 2001-08-20