Zufallsstichprobe

Der Vektor der vorliegenden Daten $(x_1,\ldots,x_n)$ kann natürlich im allgemeinen eine komplizierte Struktur aufweisen.

• Dabei muß der ,,Wert'' $x_i$ nicht unbedingt eine Zahl sein, sondern $x_i$ kann für jedes $i=1,\ldots,n$ selbst ein Vektor sein, der beispielsweise die Lage, Größe, Form und Orientierung eines geometrischen Objektes beschreiben kann.
• Im Rahmen dieser einführenden Vorlesung setzen wir jedoch stets voraus, daß $x_i\in\mathbb{R}$ für jedes $i=1,\ldots,n$.
• Eine Ausnahme bilden lediglich die in den Abschnitten 5.3.5 und 5.4.3 diskutierten Zwei-Stichproben-Probleme, bei denen der Fall $x_i\in\mathbb{R}^2$ für jedes $i=1,\ldots,n$ betrachtet wird.

Wir nehmen an, daß die Daten $x_1,\ldots,x_n$ die Realisierung eines stochastischen Modells sind.

• Und zwar sei $x_1,\ldots,x_n$ die Realisierung einer Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$, die über einem (im allgemeinen nicht näher spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ definiert sind.
• D.h. insbesondere, daß für ein $\omega \in \Omega$
  $$X_i(\omega)=x_i\qquad\forall i\in\{1,\ldots,n\}\,.$$

• Außerdem setzen wir stets voraus, daß ${\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ für $i=1,\ldots,n$.

Definition 5.1

 

1. Der Vektor $(x_1,\ldots,x_n)$ heißt (konkrete) Stichprobe.
2. Die Menge $\mathbb{R}^n$ aller (potentiell möglichen) Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ heißt Stichprobenraum.
3. Der Zufallsvektor $(X_1,\ldots,X_n)$ heißt Zufallsstichprobe.
4. Für jedes $i=1,\ldots,n$ heißt $x_i$ Stichprobenwert von $(x_1,\ldots,x_n)$. Analog hierzu nennt man $X_i$ Stichprobenvariable von $(X_1,\ldots,X_n)$.
5. Die Dimension $n$ von $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(X_1,\ldots,X_n)$ heißt Stichprobenumfang.

Beachte

 

• Die allgemeine Zielstellung der statistischen Datenanalyse, die in der Einleitung des Abschnittes 5.1 diskutiert wurde, kann nun wie folgt präzisiert werden: Aus den vorliegenden Daten $x_1,\ldots,x_n$ sollen Schlußfolgerungen über Eigenschaften der (unbekannten) Verteilung der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ gezogen werden.
• Weil wir voraussetzen, daß die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und identisch verteilt sind, wird die Verteilung von $(X_1,\ldots,X_n)$ eindeutig durch die (Rand-) Verteilungsfunktion $F=F_{X_i}$ einer (einzelnen) Stichprobenvariablen bestimmt, vgl. Abschnitt 3.5.2.
• Aus den Daten $x_1,\ldots,x_n$ sollen also Schlußfolgerungen über Eigenschaften der unbekannten Verteilungsfunktion $F$ gezogen werden.

Um Eigenschaften der Verteilungsfunktion $F$ zu bestimmen, werden Funktionen $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ betrachtet, die der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ die ,,Bewertung'' $\varphi(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}$ zuordnen, vgl. auch Abschnitt 3.6.1. Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition 5.2

$\;$ Eine Borel-meßbare Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ heißt Stichprobenfunktion.

Beachte

$\;$ Es ist üblich, auch die zusammengesetzte Abbildung $\varphi(X_1,\ldots,X_n):\Omega\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(X_1,\ldots,X_n)(\omega)=\varphi(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))$ Stichprobenfunktion zu nennen, d.h., $\varphi$ ist dann eine Funktion der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$.