Stichprobenmittel

Wir diskutieren zunächst die Frage, wie der Erwartungswert $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$ der Stichprobenvariablen $X_i$ aus den beobachteten Daten $x_1,\ldots,x_n$ bestimmt werden kann.

• Hierfür betrachten wir die Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(x_1,\ldots,x_n)=n^{-1}\sum_{i=1}^n x_i$.
• D.h., wir betrachten das arithmetische Mittel

  $$\overline x_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n x_i$$ (1)

  
  
  der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$.
• Die Zahl $\overline x_n$ wird Stichprobenmittel der (konkreten) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ genannt.
• Außerdem betrachten wir das arithmetische Mittel der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$, dessen Eigenschaften bereits in Abschnitt 4.3.2 im Zusammenhang mit dem Gesetz der großen Zahlen untersucht worden sind.

Definiton 5.3

$\;$ Die Zufallsvariable

$$\overline X_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n X_i$$ (2)

heißt Stichprobenmittel der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$.

In Abschnitt 4.3.2 hatten wir uns überlegt (vgl. den Beweis von Theorem 4.20), daß sich Erwartungswert und Varianz von $\overline X_n$ wie folgt darstellen lassen.

Theorem 5.4

$\;$ Es gilt

$${\mathbb{E}\,}\overline X_n=\mu$$ (3)

und

$$\overline X_n=\frac{\sigma^2}{n}\;,$$ (4)

wobei $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$ und $\sigma^2=$Var $X_i$ den Erwartungswert bzw. die Varianz der Stichprobenvariablen $X_i$ bezeichnen.

Beachte

 

• Weil das Stichprobenmittel $\overline X_n$ den Erwartungswert $\mu$ hat (vgl. (3)), kann man $\overline X_n$ als einen geeigneten ,,Schätzer'' der (im allgemeinen unbekannten) Modellcharakteristik $\mu$ ansehen.
• Wegen (3) sagt man, daß bei der Schätzung von $\mu$ durch $\overline X_n$ kein ,,systematischer Fehler'' begangen wird.
• Der Schätzer $\overline X_n$ kann dennoch sehr ungenau sein, wobei man den in (4) gegebenen Wert $\sigma^2/n$ als Kennzahl für die Schätzgenauigkeit von $\overline X_n$ auffassen kann.
• Insbesondere bedeutet (4), daß die Schätzgenauigkeit mit wachsendem Stichprobenumfang $n$ verbessert wird.
• Dabei ist jedoch zu beachten, daß $\sigma^2$ im allgemeinen ebenfalls unbekannt ist.
• Um die Schätzgenauigkeit von $\overline X_n$ bei vorgegebenem Stichprobenumfang $n$ bestimmen zu können, muß deshalb auch $\sigma^2$ aus den beobachteten Daten $x_1,\ldots,x_n$ geschätzt werden.
• Diese Fragestellung werden wir in Abschnitt 5.1.3 diskutieren.

Neben den Formeln (3) und (4) für Erwartungswert und Varianz des Stichprobenmittels $\overline X_n$ sind noch weitere Aussagen über die Verteilung von $\overline X_n$ von Interesse bzw. über deren asymptotisches Verhalten für große $n$.

Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem 4.22) bzw. aus dem zentralen Grenzwertsatz (vgl. Theorem 4.24) ergibt sich unmittelbar

Theorem 5.5

$\;$ Es gilt

$$P\Bigl(\lim\limits _{n\to\infty} \overline X_n =\mu\Bigr)=1$$ (5)

und

$$\lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(\sqrt{n} \frac{\overline X_n -\mu}{\sigma}\le x\Bigr)=\Phi(x)$$ (6)

für jedes $x\in\mathbb{R}$, wobei $\Phi(x)$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.

Beispiel

 

• Es interessiert beispielsweise die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\{\vert\overline X_n-\mu\vert>\varepsilon\}$, daß das Stichprobenmittel $\overline X_n$ um mehr als einen vorgegebenen Schwellenwert $\varepsilon>0$ von dem zu schätzenden Wert $\mu$ abweicht.
• Genauso wie in dem Beispiel, das in Abschnitt 4.3.4 diskutiert wurde, ergibt sich aus (6) die Näherungsformel

  $$P(\vert\overline X_n-\mu\vert>\varepsilon)\approx 2\Bigl(1-\Phi\Bigl(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)\Bigr)$$ (7)

  
  
  für große $n$.
• Falls $\sigma^2$ unbekannt ist, dann muß $\sigma^2$ (wie bereits oben erwähnt wurde) ebenfalls aus den vorliegenden Daten geschätzt werden, um mit Hilfe von (7) eine praktikable Näherungsformel für die Wahrscheinlichkeit $P(\vert\overline X_n-\mu\vert>\varepsilon)$ zu erhalten.