Eigenschaften von Parameterschätzern

• Betrachten eine beliebige (Borel-meßbare) Stichprobenfunktion $\hat\theta:\mathbb{R}^n\to\Theta\subset\mathbb{R}^m$
• und den zugehörigen Schätzer $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des Parametervektors $\theta$.

Definition 5.13

 

• Es gelte ${\mathbb{E}\,}_\theta \vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)\vert<\infty$ für jedes $\theta\in\Theta$, wobei $\vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)\vert$ die Länge des Zufallsvektors $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ bezeichnet.
• Dann heißt der Schätzer $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$
  1. erwartungstreu, falls ${\mathbb{E}\,}_\theta \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)=\theta$ für jedes $\theta\in\Theta$,
  2. asymptotisch erwartungstreu, falls $\lim\limits _{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}_\theta \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)=\theta$ für jedes $\theta\in\Theta$.

Beachte

$\;$ Die folgende Sprechweise ist üblich:

1. Die Differenz ${\mathbb{E}\,}_\theta \hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta$ heißt Verzerrung (Synonym: Bias).
2. Falls ${\mathbb{E}\,}_\theta (\vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta\vert^2)<\infty$, dann heißt ${\mathbb{E}\,}_\theta (\vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta\vert^2)$ die erwartete quadratische Abweichung des Schätzers $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ von dem zu schätzenden Parametervektor $\theta\in\Theta\subset\mathbb{R}^m$.

Beispiel

 

• Die Stichprobenvariablen $X_i$ seien normalverteilt, d.h., es gelte (26).
• Dann ist $m=2$.
• Aus (3) und (10) ergibt sich, daß der in (2) bzw. (9) eingeführte Schätzer $(\overline X_n,S^2_n)$ des Parametervektors $(\mu,\sigma^2)$ erwartungstreu ist.

Definition 5.14

$\;$ Der Schätzer $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des Parametervektors $\theta$ heißt

1. schwach konsistent, falls für $n\to\infty$
   $$\hat\theta(X_1,\ldots,X_n) \overset{\textrm{st}}{\longrightarrow}\theta\,,$$
   d.h.
   $$\lim\limits _{n\to\infty}P_\theta (\vert\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)-\theta\vert>\varepsilon)= 0\qquad\forall \varepsilon>0$$
   für jedes $\theta\in\Theta$.

   
   

2. stark konsistent, falls für $n\to\infty$
   $$\hat\theta(X_1,\ldots,X_n) \overset{\textrm{f.s.}}{\longrightarrow}\theta\,,$$
   d.h.
   $$P_\theta \Bigl(\lim\limits_{n\to\infty}\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)=\theta\Bigr)=1$$
   für jedes $\theta\in\Theta$.

Beispiel

 

• Die Stichprobenvariablen $X_i$ seien normalverteilt, d.h., es gelte (26).
• Dann ergibt sich aus (5) und (12), daß der in (2) bzw. (9) eingeführte Schätzer
  $$\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)=(\overline X_n,S^2_n)$$
  des Parametervektors $\theta=(\mu,\sigma^2)$ sowohl schwach als auch stark konsistent ist.

Schließlich wollen wir noch den Begriff der asymptotischen Normalverteiltheit von Schätzern erwähnen. Hierfür benötigen wir einen Hilfssatz aus der linearen Algebra, auf dessen Herleitung wir jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht eingehen.

Lemma 5.15

$\;$ Sei $K$ eine symmetrische und positiv definite $n\times n$-Matrix. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte symmetrische und positiv definite $n\times n$-Matrix $L$, so daß

$$L\cdot L=K\,.$$ (27)

Beachte

 

• Die in (27) definierte Matrix $L$ heißt Quadratwurzel von $K$. (Schreibweise: $L=K^{1/2}$)
• Die Quadratwurzel der inversen Matrix $K^{-1}$ wird mit $K^{-1/2}$ bezeichnet.

Definition 5.16

$\;$ Die Kovarianzmatrix Cov $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des Schätzers $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ sei für jedes $n\in\mathbb{N}$ und für jedes $\theta\in\Theta$ positiv definit. Dann heißt der Schätzer $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des Parametervektors $\theta$ asymptotisch normalverteilt, falls

$$($$Cov $$\hat\theta(X_1,\ldots,X_n))^{-1/2}\Bigl( \hat\theta(X_1,\ldots,X_... ...}\,}\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)\Bigr) \overset{\textrm{d}}{\longrightarrow}Y\,,$$

wobei $Y\sim$ N$(0,I_m)$ und $I_m$ die $m$-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet.