Tests der Varianz

Wenn die Varianz $\sigma^2$ der normalverteilten Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ getestet werden soll, dann kann man ähnlich wie in Abschnitt 4.2.1 vorgehen. Außerdem gibt es Ähnlichkeiten zur Konstruktion der Konfidenzintervalle für $\sigma^2$, die in Abschnitt 3.2.2 diskutiert worden sind.

Test der Varianz $\sigma^2$ (bei bekanntem Erwartungswert $\mu$)

• Wir nehmen an, dass $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (bekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\sigma^2_0>0$ soll die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ (gegen die Alternative $H_1:\sigma^2\not=\sigma^2_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{\sigma^2:\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\sigma^2:\,\sigma^2\not=\sigma^2_0\}\,.$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{n \widetilde s_n^2}{\sigma^2_0}$$ (10)

  
  
  und die Schwellenwerte $c_1=\chi^2_{n,\alpha/2}$ bzw. $c_2=\chi^2_{n,1-\alpha/2}$. Dabei ist $\widetilde s_n^2$ die bereits in Abschnitt 3.2.2 eingeführte Größe
  $$\widetilde s_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits _ {i=1}^n(x_i-\mu)^2\,.$$

• Weil $T(X_1,\ldots,X_n)\sim\chi^2_n$, gilt dann $P_{\sigma^2_0}\bigl(\chi^2_{n,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n,1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha$.
• Die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ wird abgelehnt, falls $T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n,\alpha/2}$ oder $T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n,1-\alpha/2}$.

Beachte

 

1. Die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ dieses Tests mit
   

   $$\alpha_n(\sigma^2) = 1-P_{\sigma^2}\bigl(\chi^2_{n,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n,1-\alpha/2}\bigr)$$

   $$= 1-P_{\sigma^2}\Bigl(\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\chi^2_{n,\alpha/2... ...lde S_n^2}{\sigma^2} \le \frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\chi^2_{n,1-\alpha/2}\Bigr)$$

   
   
   hat kein Minimum im Punkt $\sigma^2=\sigma^2_0$,

   -

   weil $n\widetilde S_n^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$ gilt, d.h., die Verteilung der Zufallsvariablen $n\widetilde S_n^2/\sigma^2$ hängt nicht von $\sigma^2$ ab,

   -

   und weil die Funktionswerte $f_n(\chi^2_{n,\alpha/2})$ und $f_n(\chi^2_{n,1-\alpha/2})$ der in Theorem 1.6 gegebenen Dichte $f_n$ der $\chi^2_n$-Verteilung nicht übereinstimmen.

   Der Test ist also nicht unverfälscht.
2. Wenn jedoch beispielsweise die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ gegen die (einseitige) Alternative $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{\sigma^2:\,\sigma^2\ge\sigma^2_0\}$ mit
   $$\Theta_0=\{\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\sigma^2:\,\sigma^2>\sigma^2_0\}\,,$$
   dann wird der kritische Bereich

   $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n,1-\alpha}\}$$ (11)

   
   
   betrachtet, und die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ mit
   

   $$\alpha_n(\sigma^2) = P_{\sigma^2}\bigl( T(X_1,\ldots,X_n)>\chi^2_{n,1-\alpha}\bigr)$$

   $$= P_{\sigma^2}\Bigl(\frac{n\widetilde S_n^2}{\sigma^2}>\frac{\sigma^2_0}{\sigma^2} \chi^2_{n,1-\alpha}\Bigr)$$

   
   
   ist monoton wachsend für $\sigma^2\ge\sigma_0^2$. Der einseitige Test ist somit unverfälscht.
3. Wegen dieser Monotonieeigenschaft ist durch den in (11) betrachteten kritischen Bereich $K^\prime$ auch ein (unverfälschter) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothese $H_0: \sigma^2\le\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ gegeben.
4. Analog liefert der kritische Bereich
   $$K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n,\alpha}\}$$
   einen (unverfälschten) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothesen $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ bzw. $H_0: \sigma^2\ge\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2<\sigma^2_0$.

Test der Varianz $\sigma^2$ (bei unbekanntem Erwartungswert $\mu$)

• Wir nehmen nun an, dass $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$, wobei $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma^2>0$ unbekannt seien.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\sigma^2_0\in\mathbb{R}$ soll die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ (gegen die Alternative $H_1:\sigma^2\not=\sigma^2_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2=\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2\not=\sigma^2_0\}\,.$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2_0}$$ (12)

  
  
  und die Schwellenwerte $c_1=\chi^2_{n-1,\alpha/2}$ bzw. $c_2=\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}$.
• Aus Theorem 1.11 ergibt sich, dass $T(X_1,\ldots,X_n)\sim\chi^2_{n-1}$, und somit gilt
  $$P_{(\mu,\sigma^2_0)}\bigl(\chi^2_{n-1,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha$$
  für jedes $\mu\in\mathbb{R}$.
• Die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ wird abgelehnt, falls
  $$T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n-1,\alpha/2}$$   oder$$\qquad T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}\,.$$

Beachte

 

1. Die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ dieses Tests mit
   $$\alpha_n(\mu,\sigma^2)=1-P_{(\mu,\sigma^2)}\bigl(\chi^2_{n-1,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)$$
   hängt nicht von $\mu$ ab. Sie hat jedoch (bei fixiertem $\mu$) kein Minimum im Punkt $\sigma^2=\sigma^2_0$, wobei dies genauso wie im vorhergehenden Fall ($\mu$ bekannt) begründet werden kann. Der Test ist also nicht unverfälscht.
2. Wenn jedoch beispielsweise die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ gegen die (einseitige) Alternative $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2\ge\sigma^2_0\}$ mit
   $$\Theta_0=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2=\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>\sigma^2_0\}\,,$$
   dann wird der kritische Bereich

   $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n-1,1-\alpha}\}$$ (13)

   
   
   betrachtet, und die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ mit
   

   $$\alpha_n(\mu,\sigma^2) = P_{(\mu,\sigma^2)}\bigl( T(X_1,\ldots,X_n)>\chi^2_{n-1,1-\alpha}\bigr)$$

   $$= P_{(\mu,\sigma^2)}\Bigl(\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}>\frac{\sigma^2_0}{\sigma^2} \chi^2_{n-1,1-\alpha}\Bigr)$$

   
   
   hängt nicht von $\mu$ ab und ist monoton wachsend für $\sigma\ge\sigma_0^2$. Der einseitige Test ist somit unverfälscht.
3. Wegen dieser Monotonieeigenschaft ist durch den in (13) betrachteten kritischen Bereich $K^\prime$ auch ein (unverfälschter) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothese $H_0: \sigma^2\le\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ gegeben.
4. Analog liefert der kritische Bereich
   $$K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n-1,\alpha}\}$$
   einen (unverfälschten) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothesen $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ bzw. $H_0: \sigma^2\ge\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2<\sigma^2_0$.