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Eingebettete Markow-Ketten; Simulationsalgorithmus

Schritt 1$ \;$ Sei $ S_0=0$ und $ Z_0^\prime=Z_0/q(\widetilde X_0)$, wobei $ Z_0^\prime=\infty$ gesetzt wird, falls $ q(\widetilde X_0)=0$.

Schritt 2$ \;$ Sei $ S_1=S_0+Z_0^\prime$ und $ X_t=\widetilde X_0$ für $ S_0=0\le t<S_1$, wodurch die Trajektorie von $ \{X_t\}$ bis zum ersten Sprungzeitpunkt $ S_1$ gegeben ist.

Schritt 3$ \;$ (analog zu Schritt 1) Sei $ Z_1^\prime=Z_1/q(\widetilde X_1)$, wodurch
Schritt 4$ \;$ Sei $ S_2=S_1+Z_1^\prime$ und $ X_t= \widetilde X_1$ für $ S_1\le t<S_2$.

$ \;$ $ \vdots$

Schritt $ {\bf 2} {\mathbf{n}}{\bf +1}$$ \;$ Wir nehmen nun an, dass die Größen $ Z_0^\prime,Z_1^\prime,\ldots,Z_{n-1}^\prime,S_0,S_1,\ldots, S_n$ und $ \{X_t,t\in[0,S_n)\}$ für ein $ n\ge 1$ bereits definiert worden sind, und setzen $ Z_n^\prime=Z_n/q(\widetilde X_n)$.

Schritt $ {\bf 2} ({\mathbf{n}}+{\bf 1})$$ \;$ Sei $ S_{n+1}=S_n+Z_n^\prime$ und $ X_t=\widetilde X_n$ für $ S_n\le t<S_{n+1}$.

Beachte
$ \;$

Theorem 2.18   Der in % latex2html id marker 30732
$ (\ref{kon.mar.pro})$ gegebene stochastische Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ ist ein homogener Markow-Prozess.

Beweis
$ \;$

Wir zeigen nun, dass der in diesem Abschnitt konstruierte stochastische Prozess $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ der ,,richtige'' Markow-Prozess ist, d.h., seine Intensitätsmatrix ist gleich der vorgegebenen Matrix $ {\mathbf{Q}}$.

Theorem 2.19   Für beliebige $ i,j\in E$ und $ h\ge 0$ gilt

$\displaystyle p_{ij}(h)=\delta_{ij}{\rm e}^{-q(i)h}+\int_0^hq(i){\rm e}^{-q(i)t} \sum_{k\neq i}\widetilde p_{ik}p_{kj}(h-t)\, {\rm d}t\,.$ (44)

Insbesondere gilt $ p_{ij}(h)=\delta_{ij}$ für beliebige $ j\in E$ und $ h\ge 0$, wenn $ i\in E$ ein absorbierender Zustand ist.

Beweis
$ \;$

Korollar 2.3   Für beliebige $ i,j\in E$ gilt

$\displaystyle p_{ij}^{(1)}(0+)=q_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} -q(i)\,, & \mbox...
...s $i=j$},\\  \widetilde p_{ij}q(i) & \mbox{falls $i\neq j$.} \end{array}\right.$ (45)

Beweis
$ \;$ Um (45) zu beweisen, genügt es, in (44) die Ableitung bezüglich $ h$ zu bilden und danach den Grenzwert für $ h\downarrow 0$ zu betrachten.

$ \Box$

Beachte
$ \;$ Wenn man die Formeln (13) und (45) miteinander vergleicht, dann erkennt man, dass die Intensitätsmatrix des in diesem Abschnitt konstruierten Markow-Prozesses $ \{X_t, t\ge 0\}$ mit der vorgegebenen Matrix $ {\mathbf{Q}}$ übereinstimmt.

Beispiel
$ \;$


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Ursa Pantle 2005-07-13